Следующие две задачи имеют особое значение для анализа динамики нелинейных систем.

1. Определить условия, при которых нелинейная система как бы подобна линейной системе. Она имеет единственное положение равновесия и приходит к нему при любых начальных отклонениях ее координат. Такой класс систем называется абсолютно устойчивыми системами.

2. Найти условия, при которых в системе имеют место автоколебания. Выяснить, какова область их притяжения. Сразу же отметим, что в общем случае это очень трудная задача. Однако, для многих практически важных случаев разработаны методы ее точного или приближенного решения.

С методической точки зрения особое значение имеют системы второго порядка. Для изучения этих систем найдены простые и наглядные методы. Многие результаты, полученные для систем второго порядка, помогают понять сложные процессы в нелинейных системах высокого порядка, поэтому в данном пособии большое место отводится изучению систем второго порядка.

Но прежде чем изучать динамику, рассмотрим типовые нелинейные блоки систем автоматического управления, то есть нелинейные функции, которые наиболее часто встречаются в промышленных системах автоматического управления.

§ 2. Статические характеристики типовых нелинейных элементов.

В системах управления встречаются нелинейные элементы, имеющие самые различные статические характеристики. Однако, можно выделить некоторое число статических характеристик, которые, во-первых, встречаются чаще других, и, во-вторых, могут быть с достаточной степенью точности аппроксимированы кусочно-линейными функциями (см. рис. А). Эти характеристики получили название типовых. Ниже приводится таблица графиков типовых статических характеристик и их математического описания.

Однозначные нелинейности.

Статическая характеристика. Математическое описание в форме

u=N(x) .

НЭ1 Рис.1 Н.э. – ограничение (насыщение)		Если |x|<a то u= k·x если |x|>a то u=c·sign(x)
НЭ2 Рис. 2 Н.э. – переменный коэф. усиления (2 значения )		Если |x|<a то u= k1·x если |x|>a то u= k2·x-a·(k2 - k1)·sign(x)
НЭ3 рис. 3 н.э. – переменный коэф. усиления (3 значения)		Если |x|≤ b1 то u= k1·x если b1<|x|< b2 то u= k2·x + B2·sign(x) если |x|≥ b2 то u=k3·x + B3·sign(x) где B2=b1·(k1-k2) B3=b1·( k1-k2) + (k2-k3)·b2
НЭ4 Рис.4 Н.э. –нечувствительность	если |x|≤a то u=0 если |x|>a то u=k·x - k·a·sign(x)
НЭ5 Рис. 5 Н.э. – нечувствительность и ограничение	Если |x|≤a то u=0 если a<|x|<b то u= k·x - k·a·sign(x) если |x|>b то u=c ·sign(x)
НЭ6 Рис. 6 Н.э. – нечувствительность и переменный коэф. усиления	Если |x|≤a то u=0 если a<|x|<b то u= k1·x + B1·sign(x) если |x|>b то u=k2·x + B2·sign(x) B1=-k1·a B2=(k1-k2) ·b – k1·a
НЭ7 Рис. 7 Н.э. – двухпозиционное реле	u=c·sign(x)

НЭ8 Рис. 8 Н.э. – трёхпозиционное реле

Если |x| ≤a то u=0 если |x|>a то u=c ·sign(x)