Лозинский Л.Д.   Учебное пособие по курсу ТАУ "Нелинейные системы" Аннотация: Данный материал составляет вторую часть учебника по курсу "Теория автоматического управления", посвященную исследованию нелинейных систем. Курс  читается студентам кафедры "Автоматизация технологических процессов".

Раздел 2. Нелинейные системы.

Глава 10.

Основные понятия.

§1. Ведение в динамику нелинейных систем автоматического управления.

Система автоматического управления называется нелинейной, если она включает один или несколько нелинейных блоков. Блок является нелинейным, если зависимость между его выходом и входом описывается или нелинейной функцией (статический блок), или нелинейным дифференциальным или интегральным уравнением (динамический блок).

Мы будем рассматривать главным образом системы автоматического управления, содержащие только один нелинейный статический блок. Примеры типовых нелинейных блоков приведены в параграфе 2. Выделенный класс нелинейных систем является, пожалуй, наиболее простым, и для него в теории управления разработаны эффективные методы исследования некоторых ключевых вопросов динамики.

Следует сразу же отметить, что общей теории нелинейных систем не существует, так как они отличаются исключительным многообразием.

Первый вопрос, который возникает при переходе от линейных систем к нелинейным системам, состоит в том, какие принципиально новые виды движений по сравнению с линейными системами возможны в нелинейных системах. При рассмотрении этого вопроса, учитывая сложность задачи, ограничимся случаем собственных колебаний (свободных движений системы).

В линейной системе практически возможны два типа движений, которые целиком определяются расположением корней ее характеристического уравнения.

Если все корни характеристического уравнения лежат в левой полуплоскости (система устойчива), то при любых начальных отклонениях она приходит к положению равновесия.

Если характеристическое уравнение имеет хотя бы один корень в правой полуплоскости (система неустойчива), то при любых начальных отклонениях выходная координата системы стремится к бесконечности или колебательным образом (расходящиеся колебания), или монотонным.

Расходящиеся движения возникнут, если система имеет кратные корни на мнимой оси, но для замкнутых систем управления этот случай не представляет интереса, поэтому редко упоминается.

Если система имеет пару чисто мнимых корней, а все остальные корни находятся в левой полуплоскости, то при любых начальных отклонениях в системе возникают незатухающие колебания, амплитуда которых зависит от начальных условий. При сколь угодно малом изменении параметров системы эти колебания превращаются или в затухающие (мнимые корни сдвигаются в левую полуплоскость), или в расходящиеся колебания (мнимые корни сдвигаются в правую полуплоскость).

Никакие другие виды движений согласно линейной модели не могут возникнуть.

Практика применения систем авторегулирования еще в конце 19го века показала, что во многих системах авторегулирования имеют место принципиально иные явления, то есть описание с помощью линейной модели для них неприменимо. На первое место по распространенности и важности среди этих явлений необходимо выделить следующее.

При начальных отклонениях, выше некоторого определенного порога (для каждой системы своего), возникают колебания, определенной амплитуды и частоты. Эти колебания, которые называют автоколебаниями, отличаются тем, что их параметры не зависят от начальных условий, если эти начальные условия находятся в определенной области. Иными словами, в том случае, когда начальные условия процесса в нелинейной системе находятся в указанной области, то возникающий процесс со временем практически сливается с процессом автоколебаний. Можно сказать, что автоколебания как бы обладают областью притяжения. В общем случае в нелинейной системе возможны несколько видов автоколебаний, каждое из которых обладает своей областью притяжения. Области эти между собой не пересекаются.

Несравненно реже, чем автоколебания, в нелинейных системах встречаются квазипериодические колебания. В этом случае запись процесса фиксирует изменение выходной координаты в ограниченных пределах, внешне похожих на колебания сложной формы. Однако, нельзя определить ни период колебаний, ни амплитуду, так как их просто не существует.

В заключение отметим одно очень опасное явление, которое встречается в нелинейных системах. Система устойчиво работает до тех пор, пока отклонения ее координат (или возмущающие воздействия) не превысят определенного порога. Как только они превышают этот порог (для каждой системы свой), возникают расходящиеся процессы. То есть выходной сигнал системы колебательным или монотонным образом начинает неограниченно возрастать, что, разумеется, приводит к катастрофе, если не принять специальных мер.

Приступая к изучению нелинейных систем авторегулирования, необходимо первым делом конкретизировать понятие устойчивости. Необходимо различать устойчивость движения в системе и устойчивость системы. В нелинейной системе возможна ситуация, когда один вид движения устойчив, а другой неустойчив. Здесь мы под словом «устойчив» понимаем «прочность движения» по отношению к изменению начальных условий.