9.2 Расчет норм запасных изношенных элементов

Распределение вероятностей наработки до отказа изношенных элементов (третий период жизненного цикла технического объекта) подчиняется нормальному закону, плотность вероятности которого имеет выражение

(9.4)

где M[t], σ[t] - математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение наработки t до отказа. Вероятность непоявления износовых отказов в течение времени t равна

(9.5)

где Ф – функция Лапласа.

Например (рис. 9.1), при t=t₁

.

Значение p(t₁) численно равно заштрихованной площади на рис.9.1.

Среднее число отказавших элементов равно

(9.6)

где t_Σ – суммарная запланированная наработка на год.

Реальное число отказов может отличаться от n_ср тем существеннее, чем, меньше величина t_Σ.

рис. 9.1 Значение функции p(t) при t=t₁

Поскольку интенсивность износовых отказов не является постоянной величиной, воспользоваться методом расчета, приведенным в предыдущем параграфе (9.1), нельзя.

Для гарантированного обеспечения системы запасными элементами на этапе возникновения износовых отказов необходимо, чтобы п₃ > n_ср. Поэтому принимают

(9.7)

Для элементов, находящихся на хранении, вместо t_Σ задаются периодом обеспечения t_об=8760 часов.

9.3. Расчет норм запасных элементов для объектов, находящихся в дежурном режиме

Для объектов, находящихся в дежурном режиме, отказавшие элементы заменяются во время выполнения профилактических работ, которые проводятся через некоторый интервал времени ∆t_n. (К таким объектам относятся некоторые объекты эксплуатации по ресурсу.)

В этом случае может быть использовано биномиальное распределение вероятностей числа отказов на интервале ∆t_n. между профилактиками. Тогда вероятность того, что число отказавших элементов n равняется k, вычисляется как выражение общего члена бинома Ньютона (р + g)ⁿ, а именно

(9.8)

где - число сочетаний из N по k;

N – число элементов в объектах, работающих в дежурном режиме;

g – вероятность отказа элемента на интервале ∆t_n.

Аналогично случаю, рассмотренному в п. 9.1, вероятность того, что число отказов не превысит количества запасных элементов n_з определяется выражением

(9.9)

По этому выражению можно, при известных значениях N, g и заданной вероятности достаточности р_дост определить n_з. Определяя величину g, необходимо в качестве периода обеспечения t_об принять интервал ∆t_n; если расчеты ведутся на календарный год, принимается величина n_п*∆t_n, где n_п - количество профилактик, проводимых в течение года.

При расчетах можно воспользоваться данными таблицы 9.2, в которой приведены значения

. (9.10)

Полученные при этом дробные значения п₃ округляются до ближайшего целого числа (в большую, разумеется, сторону).

9.4. Экономически оптимальные нормы запасных элементов

Возможные пути осуществления расчетов рассмотрим на примере двухуровневой системы восстановления, схема которой представлена на рис. 9.2. При отказе элемента запасной доставляется со склада подразделения технического обслуживания (склада ПТО) за время t_дои устанавливается на объект обслуживания (ОО) за среднее время

,

где t_з – время в течение которого производится замена отказавшего элемента работоспособным элементом (как правило, М[t_з]<<t_до). При отсутствии элемента на складе ПТО элемент доставляется с центрального склада (ЦС) за время t_дц. В этом случае время восстановления объекта

M[t_в^ц]=t_дц+M[t_з]≈t_дц

рис.9.2 Двухуровневая система восстановления

При этом M[t_в^ц]»M[t_в°], что приводит к большим затратам из-за простоя объекта обслуживания. Поэтому запас элементов на складе ПТО должен быть достаточно большим. С другой стороны, увеличение числа запасных элементов ведет к росту затрат на их приобретение. Излишек запасных элементов приводит к так называемому «замораживанию» вложенных в них затрат. Поэтому сумма затрат и расходов должна иметь минимум, которому соответствует оптимальное количество запасных элементов.

Необходимо найти оптимальное количество запасных элементов (в принципе - каждого типа) n_{з опт}, которое обеспечивало бы минимум общих затрат на обеспечение надежности N работающих элементов, входящих в состав объектов обслуживания при заданном периоде ∆t_п, пополнения склада ПТО с центрального склада.

Общие затраты и расходы S, связанные с заменами элементов определенного типа, складываются из четырех составляющих.

1 . Затрата S_пр на приобретение запасных элементов. Они состоят из стоимости элементов, которые находятся на складе ПТО, и стоимости элементов, доставленных с ЦС при нехватке элементов на складе ПТО:

S₁n_з при x≤n_з

S_пр= S₁n_з+(S₁+S_ц1)(xn_з), при x>n_з (9.13)

Где S₁ – стоимость одного элемента;

S_ц1 – затраты на доставку одного элемента с ЦС;

х – число замен за период ∆t_n (является случайной величиной).

Считается, что стоимость доставки элемента со склада ПТО ничтожно мала.

2. Расходы S_хр на хранение элементов на складе ПТО.

Их планируют на период ∆t_n:

S_хр=∆S₁∆t_nn_з (9.12)

где ∆S₁ - средние затраты на сохранение одного элемента в единицу времени.

3. Потери S_з из-за «замороженности» стоимости неиспользованных запасных элементов:

S_з1(n_зх), при х<n_з;

S_з= 0, при х≥n_з, (9.13)

Где S₃₁ - средние потери из-за «замораживания» стоимости одного излишнего элемента за период ∆t_n. Величина S₃₁ равняется доходу, которые могли бы принести «замороженные» средства, то есть стоимости неиспользованного запасного элемента, при условии его использования в другом месте. Величину S₃₁ можно определить, используя формулу

(9.14)

где r=ln(1+E_н)/8760, Е_н – нормативный коэффициент экономической эффективности. (при Е_н = 0.12 r=1.3*10^5 ¼).

4 . Потери S_n из-за простоя объекта, обусловленного восстановлением его работоспособности (ремонта):

∆S_nM[t_в⁰]n_з, при х≤n_з;

S_n= ∆S_n{M[t_в⁰]n_з+M[t_вⁿ](хn_з)}, при х>n_з (9.15)

Где ∆S_n – средние потери за единицу простоя объекта обслуживания.

Общие затраты и потери S являются суммой перечисленных составляющих:

S=S_пр+S_хр+S_з+S_n. (9.16)

При показательном распределении вероятностей времени наработки до отказа среднее количество замен элементов из N за время ∆t_n (при λ = const) равно

n_{з ср}=k_нзNλ∆t (9.17)

Вероятность того, что число замен x=k, равна

(9.18)

После подстановки (9.11…9.16) с учетом (9.17) и (9.18) получаем среднее значение суммарных затрат и потерь:

(9.19)

Оптимальное число запасных частей n_{з опт} соответствует минимуму величины . Анализ (9.19) показывает, что выбор n_з необходимо проводить при выполнении условия:

(9.20)

где .

Таким образом, для расчета n_{з опт}, необходимо вычислить значения А и n_{з ср} и, пользуясь таблицей 9.3 суммарных значений функций Пуассона, найти наибольшее значение n_з для которого

(9.21)

Если значение n_{з ср} не совпадает с приведенным в таблице, используют интерполяцию.