2.8. Функции распределения непрерывных случайных величин

Способ задания дискретных случайных величин не применим к непрерывным случайным величинам. Если рассматривать некоторую непрерывную случайную величину X, возможные значения которой целиком заполняют некоторый интервал (а, b), то ясно, что указать весь набор возможных значений X невозможно. Однако есть способ задания любых типов случайных непрерывных величин - например, с помощью функции распределения.

2.8.1 Интегральная функция распределения вероятностей случайной величины (функция распределения)

Пусть х – некоторое действительное число, обозначенное точкой на числовой оси. Вероятность того, что случайная величина Х принимает значения менее х, то есть р(Х<х), обозначим F(х).

Интегральной функцией распределения называют функцию F(х), которая определяет для каждого значения х вероятность того, что случайная величина Х примет значения меньше х, то есть F(х)=р(Х<х).

Если перемещаться по числовой оси вправо, то вероятность того, что случайная величина X появится левее значения х будет расти. В пределе (х→∞)

F(x) = р(Х<1)=1.

Свойства F(х) (рис. 2.4)

F(х)

1

F(х₂) – F(х₁)

а 0 х₁ х₂ b х

рис.2.4 График интегральной функции распределения

1. Значения F(х) принадлежат отрезку (0,1), то есть 0≤ F(х)≤1.

2. F(x) — неубывающая функция, то есть, если :х₂>х₁, то F(x₂)≥F(x_l).

3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а, b), то F(x)=0 при x≤а и F(x) = 1 при х>b.

Следствия:

а) Вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале (a₁,b₁), равна приросту интегральной функции на этом интервале:

р(а₁≤Х≤b₁)=F(b₁) - F(a₁). (2.25)

б) Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет единственное (конкретное) значение, равна нулю.

в) Если возможные значения непрерывной случайной величины размещены на всей прямой (-∞,∞), то справедливы граничные соотношения:

lim_x→-∞F(x)=0; lim_x→∞F(x)=1

Пример. На рис.2.5, и 2.6 изображены соответственно графики непрерывной и дискретной величин:

0, при х≤ -1

F(х)= , при -1<х≤3

1, при х>3

Х 1 4 8

Р 0,3 0,1 0,6

F(x)

1,0

0,75

0,5

0,25

-1 0 1 2 3 х

Рис.2.5 График функции распределения непрерывной случайной величины

Рис. 2.6 График функции распределения дискретной случайной величины

Непрерывную случайную величину можно также задать дифференциальной функцией.

2.8.2 Дифференциальная функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины (плотность вероятностей)

Дифференциальной функцией распределения f(x) называют первую производную от интегральной функции:

f(x)=F^!(x) (2.26)

Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (a;b), равна определенному интегралу от дифференциальной функции, взятому в пределах от a до b:

Р(а<Х<b)= f(x)dx. (2.27)

Доказательство.

Поскольку F(b) – F(a)= (х)dх= ,

То р(а≤Х≤b)=F(b) – F(a)= .

Свойства.

1. Дифференциальная функция неотрицательна:

f (x)≥0.

2. Интеграл от f(x) равен единице:

Числовые характеристики непрерывных случайных величин:

а) Математическое ожидание:

М[Х]= или М[Х]= (2.28)

в) Дисперсия:

D[X]= или D[X]= (2.29)

в) Среднее квадратическое отклонение:

(2.30)

При исследовании вопросов надежности принято пользоваться такими важными количественными показателями безотказности, как интенсивность отказов и параметр потока отказов.