2.3.2. Теорема умножения вероятностей

а) Независимые и зависимые события

Два события называются независимыми, если вероятность одного из них не зависит от появления или непоявления другого.

Пример. Из ящика, в котором 100 деталей, из них 12 нестандартных, берут наудачу одну деталь. Вероятность того, что деталь стандартная, равна 0,88. После возвращения этой детали опять наудачу берут одну деталь; вероятность появления стандартной детали опять будет равна 0,88.

Эти события независимы.

Два события называются зависимыми, если вероятность появления одного из них зависит от наступления или ненаступления другого.

Пример. Если в ранее рассмотренном примере в первом испытании появилась стандартная деталь, то вероятность появления стандартной детали без возвращения взятой в первом испытании равна 87/89.

В этом случае события зависимые.

б) Теорема умножения вероятностей независимых событий

Произведением двух событий А и В называют событие АВ, состоящее в совместном появлении (совмещении) этих событий.

Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

Теорема. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий

р(АВ) = р(А)р(В). (2.5)

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий.

Пример. Система состоит из трех последовательно соединенных элементов. Вероятность безотказной работы первого элемента р(А) = 0,9, второго - р(В) = 0,92, третьего - р(С) = 0,95. Определить вероятность безотказной работы системы.

Система будет работать безотказно при совмещении всех событий ABC. р(АВС) = р(А)р(В)р(С) = 0,9x0,92x0,95 = 0,7866.

в) Вероятность появления хотя бы одного события

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий А₁, А₂, А_n, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий

;

p(A)=1 - g₁g₂….g_n. (2.6)

Если g₁=g₂=…….=g_n=g, то р(А)=1 - gⁿ.

Пример. Система состоит из n параллельно соединенных элементов (рис. 2.1). Вероятность безотказной работы каждого из элементов равна р. Система продолжает оставаться работоспособной, если не отказал хотя бы один элемент.

Pиc. 2.1 Система параллельно-соединенных элементов

Определить вероятность безотказной работы системы.

Решение.

р(А) = 1 - (1 - р)ⁿ = 1 - gⁿ

г) Условная вероятность

Пусть события А и В зависимые. Из определения зависимых событий следует, что вероятность одного из событий зависит от появления или непоявления другого.

Условной вероятностью р(В) называется вероятность события В, вычисленная в предположении, что событие А уже наступило.

Пример. В ящике 10 деталей, из них 8 стандартных и 2 нестандартных. Найти вероятность извлечения стандартной детали (событие В) во втором случае, если в первом (событие А) была извлечена нестандартная деталь.

Решение:

Р_А(В)=8/9.

д) Теорема умножения вероятностей зависимых событий

Пусть события А и В зависимые и их вероятности известны.

Теорема. Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило.

р(АВ) = р(А)р_А(В) (2.7)

Вероятность совместного появления нескольких зависимых событий

Р(А_1, А₂,...,А_n).= р(A₁)p_Al(A₂)p_AlA2(A₃)….р_{А1А2…Аn-1}(А_n) (2.8)