2.2. Понятие отказа как случайного события

Отказы, обусловленные недостаточной надежностью, можно разделить на две группы.

Первая группа. К ней относятся отказы, являющиеся следствием дефектов конструкции, технологии производства, эксплуатационно-технической документации, а также других дефектов, повторяющихся на всех экземплярах (или группе) изделия (объекта). Поэтому испытания отдельного экземпляра могут дать необходимую информацию для устранения причин отказов на всех экземплярах изделия. Отказы этой группы неслучайные.

Вторая группа. К ней относятся отказы, вызванные случайным разбросом параметров элементов в пределах установленных допусков, случайным сочетанием неблагоприятных режимов работы или условий эксплуатации, случайными погрешностями производства и другими случайными причинами. Отказы второй группы являются случайными.

Отказы второй группы, обнаруженные на отдельном экземпляре изделия (объекта), не дают оснований делать заключение о ненадежности остальных экземпляров. Поэтому устранение причин отказов второй группы (повышение надежности) вызывает затруднения. Для их устранения необходимо установить статистические закономерности (законы) их распределения.

Следует различать три периода эксплуатации объектов (систем): период приработки, период нормальной эксплуатации и период интенсивного износа и старения.

В начале периода приработки преобладают отказы первой группы. С течением времени по мере накопления информации об отказах и проведения мероприятий по устранению причин их появления удельный вес отказов первой группы постепенно уменьшается и достигает минимума в конце периода приработки.

В период нормальной эксплуатации преобладают отказы второй группы; неслучайные отказы встречаются очень редко и в теории надежности не рассматриваются. Теория надежности рассматривает только случайные отказы с целью установления закономерностей, а также определения эффективных методов устранения причин, вызывающих их появление.

В начале третьего периода появляются отказы первой группы, обусловленные износом и старением элементов изделия. С течением времени их удельный вес возрастает. Поскольку изучаемые в теории надежности отказы представляют собой случайные события, то основным математическим аппаратом теории надежности и являются методы теории вероятностей и математической статистики.

Для определения значений вероятностей или относительных частот отказов (или их отсутствия) используют теоремы теории вероятностей.

2.3. Теоремы сложения и умножения вероятностей

2.3.1. Теорема сложения вероятностей

Суммой двух событий А и В называется событие (А+В), состоящее в .появлении события А или В или обоих этих событий.

Пример. Система состоит из двух подсистем А и В. Событие отказа системы состоит в отказе А или В, или А и В.

Суммой нескольких событий называют событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий. Например, событие (А+В+С) состоит в появлении одного из следующих событий: А; В; С; А и В; А и С; В и С; А и В и С. Если события А и В несовместные, то (А + В)- событие, состоящее в появлении одного из этих событий, безразлично какого.

Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий

p(A+B) = p(A) + р(В). (2.3)

Эта теорема распространяется на n попарно несовместных событий.

Пример. Система состоит из четырех элементов. Ее отказ может произойти при отказе любого из этих элементов. Причем из-за отказа первого элемента система откажет с вероятностью р(А)= 0,2; второго - с вероятностью р(В) — 0,35; третьего — с вероятностью р(С)= 0,4; четвертого— с вероятностью p(D) = 0,05. Отказы элементов считать событиями несовместными. Определить вероятность того, что отказ системы произойдет по причине отказа первого или третьего элементов.

Ответ: р(А+С) = р(А) + р(С) = 0,2 + 0,4 = 0,6.

Совокупность единственно возможных событий испытаний образует полную группу событий.

Сумма вероятностей событий А, В, С, D образующих полную группу, равна единице.

Два единственно возможных события, образующих полную группу, называют противоположными.

Противоположными событиями, например, являются отказ какой-либо системы и его отсутствие. Они обозначаются А и .

Теорема. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

p(A)+p( )=1 (2.4)

Часто обозначают р(А) = р, р( )=g. Тогда p+g=1.