ЛЕКЦИЯ 2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ НАДЕЖНОСТИ

2.1. Виды событий. Вероятность и относительная частота

Наблюдаемые события можно разделить на три вида:

- достоверные;

- невозможные;

- случайные.

Достоверным называется событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий.

Вода при t= 20^о C и при р=760 мм рт. ст. находится в жидком состоянии — событие достоверное.

Невозможным называется событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена совокупность условий.

Вода при t=20^о C и при р=760 мм рт. ст. находится в твердом состоянии - событие невозможное.

Случайным называется событие, которое при осуществлении определенной совокупности условий может либо произойти, либо не произойти.

Каждое случайное событие есть следствие действия очень многих случайных причин, которые невозможно учесть в единичных испытаниях. Если событие многократно повторяется, то может быть определена некоторая закономерность, называемая вероятностной.

Изучением вероятностных закономерностей массовых случайных однородных событий занимается теория вероятностей. Поэтому теория вероятностей и примыкающая к ней математическая статистика являются теоретическими основами надежности.

Случайные события могут быть несовместными, равновозможными и совместными.

События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других в одном и том же испытании.

События называются равновозможными, если есть основание считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другие.

События называются совместными, если появление одного не исключает появления другого в одном и том же испытании.

Одним из основных понятий теории вероятностей является вероятность.

Вероятностью события А называется отношение числа благоприятствующих этому событию исходов m к общему числу всех единственно возможных и равновозможных элементарных исходов испытаний n:

(2.1)

Это «классическое» определение вероятности. По существу вероятность события есть численная мера степени объективной возможности события.

Вероятность достоверного события равна единице, а невозможного - нулю. Вероятность случайного события 0<р(А)<1, а любого события 0≤р(А)≤1.

Примеры:

1. Набирая номер телефона, абонент забыл одну цифру и набрал ее наудачу. Найти вероятность того, что набрана нужная цифра. Всего цифр 10 (1,2,3...0)

Решение.

Р(А) = 1/10.

2. Абонент забыл две последние цифры и, помня, что они разные, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

Решение.

В — набраны нужные цифры.

Общее количество событий равно числу размещений из 10 по 2, т. е. А = n(n-1)=10х9 = 90.

Тогда: р(В) =1/90.

3. В партии полупроводниковых приборов n стандартных и т бракованных. При контроле оказалось, что первые k приборов стандартны. Определить вероятность р(А) того, что следующий прибор будет стандартным.

Решение.

р(А) =

4. В партии из 10 деталей 7 имеют отклонение от ТУ на 3% и 3 детали — на 5%. Определить вероятность того, что среди шести взятых наугад (наудачу) деталей, ровно 4 - с 3%-ным отклонением от ТУ.

Решение.

А - событие, состоящее в том, что среди 6 деталей 4 — с 3%-ным отклонением от ТУ. Общее число исходов равно числу способов, которыми можно извлечь 6 деталей из 10, т. е. числу сочетаний из 10 по 6.

С^m_n= ; С⁶₁₀ =

Определим число исходов, благоприятствующих событию А. Четыре детали из 7 можно взять C⁴₇ способами; при этом остальные 6-4=2 должны быть с отклонениями 5% от ТУ, которые можно взять из 10-7=3 C²₃ способами. Поэтому благоприятствуют событию A С⁴₇ С²₃ исходов.

С⁴₇*С⁶₁₀=

Р(А)=105/210=0,5

Часто вместо вероятности используется относительная частота, которая является также одним из основных понятий теории вероятностей.

Относительной частотой события называется отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний:

W(A)= (2.2)

где m^*- число появления события А;

n*- общее число испытаний.

Отличие вероятности от относительной частоты состоит в том, что определение вероятности не требует испытаний. Вероятность определяют до опыта, а относительную частоту по результатам опыта.

Длительные наблюдения показали, что при проведении испытаний в одинаковых условиях в большом количестве относительная частота обнаруживает свойство устойчивости, т. е. в различных опытах при большом количестве испытаний мало отличается от некоторого постоянного числа. Это постоянное число есть вероятность появления события.

Многократно проведенные испытания бросания монеты в одном из опытов показали:

Число бросаний	Число появлений герба	Относительная частота
4040	2048	0,5069
12000	6019	0,5016
24000	12012	0,5005

Здесь относительная частота незначительно отличается от числа 0,5, т. е. она колеблется около вероятности. На практике чаще за вероятность принимают относительную частоту или число, близкое к ней — статистическую вероятность. Это обусловлено тем, что классическое определение вероятности предполагает конечное число равновозможных исходов испытаний, что на практике не всегда возможно.