Характеристики идеальных сплошных сред

Рассмотрим законы сохранения (энергии, импульса и массы) для идеальной (без вязкости) сплошной среды применительно к анализу (в первом приближении) процессов в газовых ДУ. Такие расчетные модели используются при анализе общих характеристик как электрической дуги отключения (в приближении макроскопической модели квазинейтрального ионизированного идеального газа), так и термогазодинамических процессов в элементах газовых ДУ (в приближении модели идеального газа).

Модель идеального газа. Для данной модели газа справедливы соотношения

, , , , (П5.1)

где — внутренняя энергия газа; — газовая постоянная; — энтальпия; — коэффициент адиабаты. Связь между основными параметрами идеального газа р, r, Т описывается уравнением состояния

. (П5.2)

Для модели идеальной среды все коэффициенты переноса и термодинамические коэффициенты принимаются постоянными параметрами.

Для анализа уравнений, характеризующих законы сохранения для идеальных сплошных сред, рассмотрим элементарный объем среды dV = dx dy dz (рис. П5.1) при различных воздействиях.

Уравнение энергии (энтальпии). Первый закон термодинамики для идеальной среды запишем в виде

, (П5.3)

деля на и умножая на , имеем

. (П5.4)

Рис. П.5.1. Элементарный объем среды

Примем, что основной вид теплообмена — теплопроводность. Тогда согласно закону Фурье, для элементарного объема (рис. П.5.1) по оси x параметр Ψ_х — тепловой поток в единицу времени через грань – равен

, (П5.5)

где — коэффициент теплопроводности, Вт/(мК). Тепло, полученное рассматриваемым объемом , равно разности между поступившим и отводимым теплом, отсюда

(П5.6)

Раскрывая скобки и учитывая уравнения (П5.4) и (П5.6), имеем

или

. (П5.7)

В частности, с учетом тепла от мощности дуги отключения , подведенного к данному объему, уравнение (П5.7) можно переписать в виде

. (П5.8)

Уравнение (П5.8) показывает, что изменение энтальпии по времени равно сумме работы проталкивания и тепла, получаемого элементом среды за счет теплопроводности, а также тепла от дуги отключения.

Рассмотрим влияние движущейся среды (поля скоростей ), на скалярные характеристики (энтальпия, плотность) среды. Данная постановка задачи требует введения нового вида производной D/Dt — субстанциональной (вещественной) производной для описания движения сплошной среды по методу Эйлера (в переменных Эйлера) при одновременном использовании второго закона Ньютона, когда при описании движущихся сред используется метод Лагранжа (переменные Лагранжа).

Субстанциональная производная. Субстанциональная (вещественная) производная связана с движущимся элементом среды. Необходимость введения этой производной вызвана тем, что при описании движения сплошной среды обычно используется метод Эйлера, согласно которому фиксируются точки пространства, мимо которых в данный момент времени проходят различные частицы среды: то есть задается поле скоростей движения в фиксированных точках пространства:

,

где — вектор-радиус точки М, — вектор скорости, как функции точки М в пространстве.

В физических же законах Ньютона используются переменные Лагранжа, связанные с движущимися элементарными объемами среды. При этом в методе Лагранжа — переменные координаты движущейся частицы среды, а в методе Эйлера — независимые переменные, координаты фиксированных точек пространства, в котором перемещается среда. Поэтому в механике сплошных сред при составлении уравнений в переменных Эйлера и одновременном использовании второго закона Ньютона приходится вводить специальную субстанциональную (вещественную) производную. На примере скалярной функции она вводится следующим образом: рассматривается движение среды с полем скоростей , где — вектор скорости среды, находящейся в момент времени t в точке . За отрезок времени частица переместится в точку . Это слагаемое дает скорость изменения свойства вещества за счет передвижения (конвекции) элемента сплошной среды в пространстве и называется конвективной производной. Скорость изменения – субстанциональная производная, выражается через локальную производную и производные по направлениям (конвективные производные):

, (П5.9)

где — компоненты вектора скорости .

Влияние локального и конвективного ускорения на энтальпию, принимая во внимание уравнение (П5.9), позволяет записать уравнение (П5.8) так:

(П5.10)

Уравнение импульса (количества движения). Математическое выражение закона сохранения количества движения применительно к элементу (рис. П.5.1): скорость изменения вектора количества движения равна сумме всех массовых и поверхностных сил, действующих на рассматриваемый элемент. Рассматриваем только действие суммарного вектора поверхностных давлений (отнесенные к единице объема): .

Проектируя, в частности, только на ось x, составляющая поверхностных сил в направлении оси x (на левую грань) равна Ψ_х = F_x = , а на правую — (в механике сплошных сред рассматриваются только сжимающие усилия, поэтому направление приложения усилия на правую грань следует изменить). В общем случае для рассматриваемого объема dV получим:

.

_Отсюда

. (П5.11)

Влияние локального и конвективного ускорения, принимая во внимание уравнение (П5.9), позволяет записать уравнение (П5.11), в проекции на ось x так:

(П5.12)

Уравнение массы (неразрывности). Для массы среды rdxdydz в элементарном объеме dV рассмотрим ее изменение по времени . В направлении х в элементарный объем втекает массовый расход Ψ_х =ru_x (dydz) (рис. П.5.1) и вытекает

Изменение массового расхода по времени составляет (в данном направлении)

После суммирования аналогичных процессов (по другим осям) и деления на dx dz dy имеем

(П5.13)

При постоянной плотности (для несжимаемой среды) получим

(П5.14)

В приближении модели дугового разряда как макроскопической модели квазинейтрального ионизированного идеального газа возможно использование уравнений (П5.8), (П5.10), (П5.12) – (П5.14) при анализе дуги отключения.

_{Успехи вычислительной гидродинамики и физики плазмы позволяют исследовать отдельные характеристики электрической дуги отключения на моделях сплошных сред более высокого уровня: с учетом реальных свойств среды, использования различных моделей турбулентного перемешивания в слое смешения на различных этапах взаимодействия дуги отключения с дугогасящей средой, влияния электромагнитных взаимодействий и т. д.}

Для решения прикладных задач термогазодинамики используют пакеты программ ANSYS, Fluit, Star-CD, Phoenix и другие, которые позволяют рассчитывать процессы в меняющихся во времени областях сложной геометрии, решать двухмерные и трехмерные задачи, рассчитывать невязкие и вязкие, ламинарные и турбулентные течения. Однако данные пакеты, применительно к конкретным задачам газовых ДУ, требуют совершенствования (модифицирования) и обслуживания, так как они ориентированы на классическую термогазодинамику (т. е. на умеренные значения температуры) и стандартные модели турбулентности. При использовании пакетов программ, ввод дополнительных членов в уравнения или уравнений в системы, уже введенные в пакет, оказывается обычно крайне сложным. При расчете конкретных течений в ДУ необходимо использовать более сложные модели вязкого и теплопроводного газа и учитывать свойства дугогасящей среды и плазмы в широком диапазоне изменения температур.

_{Несмотря на значительный прогресс вычислительной гидродинамики и физики низкотемпературной плазмы, вопрос достоверного численного эксперимента по определению характеристик дуги отключения в области нуля тока и предельной отключающей способности газовых ВВ остается открытым.}

Приложение 6