Розділ іі випадкові величини

§ 2.1. Дискретні випадкові величини

1. Поняття «випадкові величини».

Визначення 1. Випадковою величиною називається змінна величина, яка, залежно від результату випробування, випадково приймає одне значення з безлічі можливих значень.

Приклади. 1) Число очок, що випали при одноразовому киданні гральної кістки, є випадкова величина, і вона може прийняти одне із значень: 1, 2, 3, 4, 5, 6;

2) приріст маси домашньої тварини за місяць є випадкова величина, яка може мати значення з деякого числового проміжку;

3) число хлопчиків, що народилися, серед п'яти новонароджених є випадкова величина, яка може прийняти значення 0, 1, 2, 3, 4, 5;

4) відстань, яку пролетить набій при пострілі із рушниці, є випадкова величина, можливі значення якої належать деякому проміжку.

Випадкові величини зазвичай позначають прописними буквами Х, У, Z, а їх можливі значення — відповідними рядковими буквами х, у, z. Наприклад, якщо випадкова величина Х має три можливі значення, то вони будуть позначені так:

x₁, х₂, х₃.

Визначення 2. Випадкова величина, що приймає різні значення, які можна записати у вигляді кінцевої або нескінченної послідовності, називається дискретною випадковою величиною.

Розглянемо дискретні випадкові величини, у яких множина допустимих значень cкінченна.

Випадкові величини з прикладів 1) і 3) дискретні.

Визначення 3. Випадкова величина, яка може приймати всі значення з деякого числового проміжку, називається безперервною випадковою величиною.

Випадкові величини з прикладів 2) і 4) є безперервними.

Визначення 4. Під сумою випадкових величин Х і У розуміють випадкову величину Z=Х+У (Z=ХУ), можливі значення якої складаються із сум (добутків) кожного можливого значення величини X і кожного можливого значення величини Y.

2. Закони розподілу дискретних випадкових величин. Розглянемо дискретну випадкову величину X з кінцевою множиною можливих значень. Величина X вважається заданою, якщо перераховані всі її можливі значення, а також ймовірності, з якими величина X може приймати ці значення. Зазначений перелік всіх її можливих значень і їх ймовірностей називається законом розподілу дискретної випадкової величини. Закон розподілу дискретної випадкової величини може бути заданий за допомогою таблиці:

X	х1	х2	х3	…	хn - 1	хn
p	р1	р2	р3	…	pn - 1	pn

У верхньому рядку записуються всі можливі значення х₁, х₂, ..., х_n величини X, у нижньому рядку записуються ймовірності р₁, р₂, ..., p_n значень х₁, х₂, ..., х_n. Читається таблиця в такий спосіб: випадкова величина X може приймати значення х_i з ймовірностями р_i (i = 1, 2, ..., n).

Так як події X = х_i (i = 1, 2, ..., n) утворюють повну групу несумісних подій, то

р₁ + р₂ + ... + p_n = 1

П р и к л а д. У грошовій лотереї раніше розігрувалися: 1 виграш в 1000 грн., 10 виграшів по 100 грн. й 100 виграшів по 1 грн. при загальному числі квитків 10 000. Знайдемо закон розподілу випадкового виграшу X для власника одного лотерейного квитка.

Тут можливі значення для X є: x₁ = 0, х₂ = 1, х₃ = 100, х₄ = 1000. Імовірності їх будуть: p₂ = 0,01, р₃ = 0,001, р₄ = 0,0001, p₁= 1 - 0,01 - 0,001 - 0,0001 = 0,9889. Отже, закон розподілу виграшу X може бути заданий таблицею:

X	0	1	100	1000
p	0,9889	0,01	0,001	0,0001

На закінчення відзначимо так названу «механічну» інтерпретацію представленої таблиці. Уявімо собі, що деяка маса, що дорівнює одиниці, розподілена по осі абсцис так, що в п окремих точках х₁, х₂, ..., х_n зосереджені відповідно маси р₁, р₂, ..., p_n. Тоді ця таблиця описує систему матеріальних точок, розміщених на осі абсцис.