4. Нормальний розподіл двовимірної випадкової величини.

В и з н а ч е н н я. Розподіл двовимірної випадкової величини (X, У) називається нормальним, якщо її щільність ймовірності визначається виразом:

Нормальний розподіл залежить від п'яти параметрів а₁, а₂, σ_х, σ_у і . Можна довести, що а₁, а₂— математичні очікування випадкових величин X і Y, і — їх середні квадратичні відхилення і – коефіцієнт кореляції цих величин.

Покажемо, що якщо складові двовимірної нормально розподіленої випадкової величини некорельовані, то вони і незалежні. Дійсно, якщо X і Y некорельовані, то =0 і, отже

звідси і слідує незалежність тих, що становлять X і Y (див. § 3.6, наслідки).

Справедливо і зворотне твердження.

Таким чином, поняття «некорельовані величини» і «незалежні величини» для випадку нормального розподілу рівносильні.

З а у в а ж е н н я. Спираючись на вирази (3.8) і (3.8'), можна довести, що якщо двовимірна випадкова величина розподілена нормально з параметрами а₁, а₂, σ_х, σ_у і те її складові також розподілені нормально з параметрами, відповідно рівними а₁, і а₂, .

Вправи

1. Знайдіть закони розподілу складових дискретної двовимірної випадкової величини, заданої законом розподілу у вигляді таблиці

Y X	y1	y2
x1 x2 x3	0,12 0,18 0,10	0,10 0,11 0,39

X	x1	x2	x3	Y	y1	y2
p	0,22	0,29	0,49	p	0,40	0,60

2. Знайдіть імовірність того, що складова X двовимірної випадкової величини прийме значення X < і при цьому складова Y прийме значення Y< , якщо функція розподілу величини (X, Y)

F(х,у) =

3. Знайдіть імовірність попадання випадково поставленої точки (X, У) в прямокутник, обмеженого прямими x= 0, x= , , , якщо функція розподілу двовимірної випадкової величини F(х, у)=sinxsiny

4. Знайдіть щільність імовірності f(х, у) двовимірної випадкової величини по відомій функції розподілу F(х, у)= ,

5. Щільність імовірності двовимірної випадкової величини визначається виразом

Знайдіть коефіцієнт а.

6. Щільність імовірності двовимірної випадкової величини визначається виразом

Визначите величину С і знайдіть функцію розподілу F(х, у).

7. Щільність імовірності двовимірної випадкової величини визначається виразом

Знайдіть щільність розподілу складових.

X Y	y1	y2
x1 x2 x3	0,15 0,30 0,35	0,05 0,12 0,03

8. Дискретна двовимірна випадкова величина задана таблицею

Знайдіть: а) умовний закон розподілу складової X за умови, що складова Y прийняла значення у₁; б) умовний закон розподілу складової Y за умови, що становить X прийняла значення x₂.

9. В умовах, викладених у вправі 7, знайдіть умовні закони розподілу імовірності складових.

10. Щільність розподілу неперервної двовимірної випадкової величини (X, У) задана виразом

Доведіть, що складові X і Y незалежні.

11. Дана таблиця, що визначає закон розподілу двовимірної дискретної випадкової величини

X Y	20	40	60
10			0
20
30

Знайдіть коефіцієнт кореляції . [ = 0,56]

12. Задана щільність імовірності неперервної двовимірної випадкової величини

Знайдіть кореляційний момент і коефіцієнт кореляції .

РОЗДІЛ IV