3.Теорема множення ймовірностей одночасних подій.

Теорема. Ймовірність суми двох одночасних подій А і В дорівнює сумі ймовірностей цих подій мінус ймовірність їх добутку:

Р(А+В)=Р(А) + Р(В)-Р(АВ) (1.12)

Доведення. Нехай з усього числа n –елементарних подій k сприяє події A , l- події В і m-одночасно подіям А і В. Звідси події А+В сприяють k+l-m елементарних подій. Тоді

Р(А+В)= k+l-m /n=k /n+l /n-m /n=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)

Зауваження 1. При використанні формули ( 1.12) слід мати на увазі , що події А і В можуть бути як незалежними так і залежними.

Для незалежних подій

Р(А+В)=Р(А) + Р(В)- Р(А)Р(В) (1.13)

Для залежних подій

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А)РА(В)

Зауваження 2. Якщо події А і В несумісні, то їх сума АВ є неможливою подією і, звідси Р(АВ)=0, тобто формула (1.4) являється частковим випадком формули (1.12).

Приклад. Ймовірність попадання в ціль при стрілянні з першої і другої рушниці дорівнює : Р(А)=0.7 і Р(В)=0.8.

Знайдемо ймовірність попадання при одному залпі (з обох рушниць) хоча би однією із рушниць.

Очевидно, подія А і В сумісні і незалежні. Тому Р(А+В)= Р(А)+ Р(В)- Р(АВ)=0.7+0.8-0.7·0.8=1.5-0.56=0.94

4.Формула повної ймовірності.

Теорема. Ймовірність події А, яка може наступити лише при умові появи однієї з попарно несумісних подій В₁ ,В₂ ,Вn , утворюючих повну групу, дорівнює сумі добутку ймовірностей кожної з цих подій на відповідну умовну ймовірність події А:

Р(А)=Р(В₁₎Р_В1(А)+Р(В₂)Р_В2(А)+…+Р(В_n)Р_Вn(А) (1.14)

(формула повної ймовірності)

Події В₁ ,В₂ ,Вn будемо називати гіпотезами.

Доведення. Подія А може наступити лише при умові наставання однієї із подій В₁ ,В₂ ,Вn, тобто А=В₁ А+В₂ А+В_n А, причому з огляду на несумісність подій В₁ ,В₂ ,Вn події В₁ А, В₂ А,…В_n А також несумісні. Тому на основі теорем додавання та множення ймовірностей маємо:

Р(А)=Р(В₁ А)+Р(В₂ А)+…+Р(В_n А)=Р(B₁)P_B1(A)+P(B₂) P_B2(A)+…+P(B_n)P_Bn P(A).

Приклад. Маємо три однакових на вигляд ящика. В першому знаходиться дві білі миші і одна сіра, в другому - три білих і одна сіра, в третьому - дві білі і дві сірі миші. Яка ймовірність того, що з навмання вибраного ящика буде вийнята біла миша?

Позначимо В₁- вибір першого ящика, В₂- вибір другого ящика, В₃- вибір третього ящика, А- вибір білої миші.

Так як всі ящики однакові, то Р_В1=Р(В₂)=Р(В₃)=1/3. Якщо вибраний перший ящик, то Р_В1(А)=2/3. Аналогічно Р_В2(А)=1/2.

Нарешті, за формулою (1.14) отримуємо

Р(А)=1/3·2/3+1/3·3/4+1/3·1/2=23/36.

Приклад 2. В санаторії 30% пацієнтів – чоловіків(Ч) і 70% - жінки(Ж). Хвороби серця серед чоловіків зустрічаються в два рази частіше, ніж серед жінок. Яка ймовірність того, що наугад вибраний пацієнт сердечник?

Позначивши С – наявність захворювання серця, запишемо:

Р(Ч)=0,3, Р(Ж)=0,7, Р_ч(С)=2/3, Р_ж(С)=1/3.

Підставляючи ці числа в формулу повної ймовірності(1.14), отримаємо

Р(С)=0,3·2/3+0,7·1/3=0,2+0,23=0,43.

Задача. На місто приблизно 100днів в році дує вітер з сходу і 200 днів в році – з заходу. Промислові підприємства, розташовані на сході, здійснюють викид шкідливих речовин кожен третій день, а розташовані на заході - в останній день кожного тижня. Як часто місто піддається дії шкідливих викидів? Іншими словами, яка ймовірність того, що в навмання вибраний день, місто буде накрите промисловим смогом?

Позначивши С – вітер з сходу, З- вітер з заходу, В- дія шкідливих речовин на місто, можемо записати:

Р(С)=100/365=20/73=0,27; Р(З)=200/376=40/73=0,55;

Р_С(В)=1/3=0,33; Р_з(В)=1/7=0,14

Звідси, по формулі повної ймовірності

Р(С)=Р(С)Р_с(В)+Р(З)Р_з(В)=20/73·1/3+40/73·1/7=0,09+0,08=0,17.

Таким чином , біля двох місяців в році місто накрите смогом.

5. Формули Байєса. Нехай в умовах роздуму, що відноситься до формули повної ймовірності, здійснилося одне випробування, в результаті якого виконалася подія А. Питається, як змінилися ( в зв»язку з тим, що подія А вже відбулася) ймовірності гіпотез, тобто величини Р(В_к), к=1,2,…,n?

Знайдемо умовну ймовірність Р_А(В_К). за формулою (1.18) маємо

Р(АВ_к)=Р(А)Р_А(В_к)=Р(В_к)Р_Вк(А)

Звідси

Р_А(В_к)= Р(В_к) Р_Вк(А)/Р(А)

Нарешті, використовуючи формулу повної ймовірності, знаходимо

Р_А(В_к)= Р(В_к) Р_Вк(А)/ Р_Вк(А)/ , к=1,2,…n. (1.15)

Вираження (1.15) називають формулами Байєса.

Приклад. Партія деталей виготовлена трьома робочими, причому перший робочий виготовив 25 % всіх деталей, другий – 35 %, третій – 40%. В продукції першого робочого брак складає 5 %, в продукції другого -4% і в продукції третього – 2 %. Випадково вибрана для контролю деталь виявилася бракованою. Яка ймовірність того, що вона виготовлена другим робочим? Введем визначення для подій: А – вибрана для контролю деталь виявилась бракованою; В₁ В₂ В₃ – ця деталь виготовлена відповідно першим, другим і третім робочим. Маємо:

Р(В₁)=0,25; Р(В₂)=0,35; Р(В₃)=0,40;

Р_В1(А)=0,05; Р_В2(А)=0,04; Р_В3(А)=0,02.

За формулою Байєса знаходимо

Р_А(В₂)=0,35·0,04/0.25·0.05+0.35·0.04+0.40·0,02=0,4

Як тут, так і в ряді інших прикладів для полегшення обчислень можна використовувати калькулятор.