§ 1.2. Геометрична ймовірність. Статистичне й аксіоматичне визначення ймовірності

1. Геометрична ймовірність. Класичне визначення ймовірності припускає, що число всіх елементарних подій скінченне. Але на практиці часто зустрічаються випадки, для яких безліч таких подій нескінченні. Наприклад, нехай на відрізку [0; 1] числової прямої ставлять наудачу крапку. Що підказує нам інтуїція про ймовірності подій «крапка потрапила на праву половину відрізка» й «крапка потрапила на ліву половину відрізка»? Оскільки крапка ставиться наудачу, то природно вважати ці події рівноможливими — ймовірність кожного 0,5 (оскільки це протилежні події). Ну, а якщо ми розділимо відрізок на 10 рівних відрізків і розглянемо події «крапка потрапила на лівий відрізок», «крапка потрапила на другий ліворуч відрізок», ..., «крапка потрапила на правий відрізок»? Це знову рівноможливі події. А ймовірність кожного з них виявляється рівною 0,1, оскільки це сукупність всіх елементарних подій нашого досліду. Поставимо тепер питання: «Яка ймовірність влучення крапки на відрізок [0,3; 0,7]?» Оскільки цій події сприяють чотири із зазначених вище елементарні події, то шукана ймовірність дорівнює 0,4, тобто довжині відзначеного відрізка. У загальному випадку зміст вираження «крапка поставлена наудачу на відрізок довжини 1» полягає в тому, що ймовірність влучення крапки на частину цього відрізка довжини l дорівнює цьому числу l (якщо замість відрізка [0; 1] взяти відрізок [0; s], s>l, те шукана ймовірність буде дорівнює l/s).

Аналогічно усвідомлюється зміст вираження «крапка поставлена наудачу у квадрат зі стороною 1 (або в прямокутник площею 1)»,- це значить, що ймовірність влучення крапки на будь-яку частину цього квадрата (або прямокутника) дорівнює площі цієї частини.

У більш складних випадках (на площині) може виявитися, що при геометричній інтерпретації вийде така картина: є фігура площею s, і на неї наудачу ставиться крапка. Тоді ймовірність влучення крапки на частину цієї фігури, що має площу q, виявляється рівною q/s.

Аналогічно в тривимірному випадку (у просторі) тут береться відношення відповідних обсягів. Таке визначення ймовірності одержало назву геометричного.

Приклад. В окружність вписаний квадрат. У коло наудачу ставлять крапку. Яка ймовірність того, що ця крапка потрапить у квадрат?

Відношення площ квадрата й кола дає шукану ймовірність:

2. Відносна частота. Статистичне визначення ймовірності. Класичне визначення ймовірності виявляється непридатним для вивчення довільних випадкових подій. Так, воно неприйнятно, якщо результати випробування не рівноможливий. Наприклад, при киданні неправильної гральної кістки випадання її різних граней не рівноможливо.

У таких випадках використається так зване статистичне визначення ймовірності.

Нехай зроблено п випробувань, при цьому деяка подія А наступила т раз.

Визначення 1. Число т називається абсолютною частотою (або просто частотою) події А, а відношення

Р*(А) =

називається відносною частотою події А.

Приклад 1. При транспортуванні з 10 000 кавунів зіпсувалося 26. Тут т = 26 — абсолютна частота зіпсованих кавунів, а

відносна.

Результати численних дослідів і спостережень, багато з яких описані, наприклад, у роботах [1—4], допомагають укласти: при проведенні серій з п випробувань, коли число п порівняно мале, відносна частота Р*(А) приймає значення, які можуть досить сильно відрізнятися одне від одного. Але зі збільшенням n — числа випробувань у серіях — відносна частота

Р*(А) = т/п

наближається до деякого числа Р(А), стабілізуючись біля нього й приймаючи більш стійкі значення.

Приклад 2. Було проведено 10 серій кидань монети, по 1000 кидань у кожній. Відносні частоти випадання герба виявилися рівними 0,501; 0,485; 0,509; 0,536; 0,485; 0,488; 0,500; 0,497; 0,494; 0,484 (див. [4]). Ці частоти групуються біля числа 0,5.

Визначення 2. (статистичне визначення ймовірності). Ймовірністю події А в даному випробуванні називається число Р(А), біля якого групуються значення відносної частоти при більших п.

В умовах тільки що наведеного приклада зазначена ймовірність дорівнює 0,5.

Приклад 3. За даними шведської статистики, відносні частоти народження дівчаток по місяцях одного року характеризуються наступними числами (розташовані в порядку проходження місяців, починаючи із січня): 0,486; 0,489; 0,490; 0,471; 0,478; 0,482; 0,462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473 (див. [2]). Ці частоти групуються біля числа 0,482.

Таким чином, відносна частота події приблизно збігається з його ймовірністю, якщо число випробувань досить велике. Є величезний дослідницький матеріал по перевірці останнього твердження. Приведемо ще один такий приклад з киданням монети (див. [2]).

Експериментатор	Число кидань	Число випадань герба	Відносна частота
Бюффон К. Пирсон К. Пирсон	4 040 12 000 24 000	2 048 6 019 12 012	0,5080 0,5016 0,5005

Тут відносні частоти трохи відрізняються від числа 0,5, причому чим більше число випробувань, тим вони менші У 4040 випробуваннях відхилення дорівнює , а при 24000 – 0,0005.

Таким чином, відносна частота події приблизно співпадає з його ймовірністю в статистичному значенні, якщо число випробувань достатньо велике.

З цієї точки зору, величина m = np представляє собою середнє значення числа появи події А в n випробуваннях.

У широких припущеннях доводиться, що ймовірності події в класичному і статистичному смислах співпадають між собою.

3.Аксіоматичне визначення ймовірності. У сучасних математичних курсах ймовірності вона визначається аксіоматично. При аксіоматичній побудові теорії ймовірності з властивостей випливають йомвірності події, до яких застосовується класичне або статистичне визначення прикладне. Окремі властивості ймовірності відомі з попереднього викладу тому природно прийняти наступні аксіоми:

Аксіома 1.Кожній події А відповідає невід’ємне число Р(А) , котре називається його ймовірністю.

Аксіома 2. Ймовірність достовірної події дорівнює одиниці.

Аксіома 3. Ймовірність суми попарно несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій.

Остання аксіома називається аксіомою складання ймовірностей.

Виходячи з цих аксіом, властивості ймовірності і залежності між ними доводять як теореми.

Велика заслуга в аксіоматичній побудові теорії йомовірності належить радянському математику А.Н. Колмогорову (1903 – 19087), роботи якого поклали початок створенню сучасної теорії ймовірності як точної математичної науки.