Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
И И Барвин Т В.doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.05.2025
Размер:
4.78 Mб
Скачать

§ 3.2. Функція розподілу двовимірної випадкової величини

  1. Визначення функції розподілу двовимірної випадкової величини і її властивості.

В и з н а ч е н н я. Функцією розподілу двовимірної випадкової величини (X, У) (байдуже, дискретної або безперервної) називають функцію F(x, у), що визначає для кожної пари дійсних чисел x, у ймовірність того, що X прийме значення, менше x, і при цьому У прийме значення, менше у:

F(x, у)= P(X< x, Y< у).

y

A(x; y) Геометрично (мал.9) ця рівність являє

собою ймовірність того, що випадкова

точка (X, Y) потрапить в безкінечний квадрант з вершиною (x, y), яка 0 x розташована лівіше і нижче цієї вершини. П р и к л а д. Знайдіть ймовірність того, що в результаті випробування складова X

двовимірної випадкової величини (X, Y)

Мал. 9 набуде значення X<4 і при цьому складова Y набуде значення Y<5, якщо відома функція розподілу цієї величини.

Р о з в я зок. Маємо

.

Вкажемо властивості, якими володіє функція F (x, у).

  1. 0 ≤ F (x, у) ≤ 1.

Ця властивість виходить з того, що F (x, у) ймовірність.

  1. F (x, у) – неспадна по кожному аргументу, тобто

F (x1, у) ≤ F (x2, у), якщо x1 < x2;

F (x, y1) ≤ F (x, y2), якщо y1 < y2.

Властивість стає наочною, якщо скористатися геометричною інтерпретацією функції розподілу.

  1. Мають місце граничні співвідношення:

,

.

Ці співвідношення також виходять з геометричної інтерпретації функції розподілу.

  1. При функція розподілу системи прямує до функції розподілу, яка становить X(Y):

;

.

Дійсно, при безкінечний квадрант з вершиною в точці А(x, у) перетворюється на напівплощину, ймовірність попадання в яку є функція розподілу, яка становить X(Y).

2. Ймовірність попадання випадкової точки в напівсмугу і прямокутник.

  1. Знайдемо ймовірність того, що в результаті випробування випадкова точка потрапить в напівсмугу x1 < X < x2 і y1 < У < y2 (мал. 10, б).

Віднімаючи від ймовірності попадання випадкової точки в квадрант з вершиною (x2; y1) ймовірність попадання цієї точки в квадрант з вершиною (x1; y1) (мал. 10, а) отримаємо

P(x1 X < x2, У < y1)= F(x2, y1) – F(x1, y1).

Аналогічно

P(X < x1, y1 У < y2)= F(x1, y2) – F(x1, y1).

у у

(x1, y1) (x2, y1)

y1

0 x1 x2 x 0 x1 x

а б

Мал. 10

Отже, ймовірність попадання випадкової точки в напівсмугу дорівнює приросту функції розподілу по одному з аргументів.

  1. Знайдемо ймовірність попадання випадкової точки (X; У) в прямокутник ABCD (мал. 11).

у А(x1, y2) B(x2, y2)

y1 D (x1; y1) С(x2; y1)

0 x1 x2 x

Мал. 11

Для цього від ймовірності попадання випадкової точки в напівсмугу AB з вертикальним штрихуванням віднімемо ймовірність попадання цієї точки в напівсмугу DC з горизонтальним штрихуванням. Отримаємо

P(x1 X < x2, y1 У < y2)=

= (F(x2, y2) – F(x1, y2)) – (F(x2, y1) – F (x1, y1)). (3.1)

П р и к л а д. Знайдемо ймовірність попадання випадкової точки (X, У) в прямокутник, обмежений прямими, якщо відома функція розподілу

.

Розвязок. В даному прикладі у виразі (3.1), і, означає

.