
- •Випадкові події та ймовірності
- •§ 1.1. Випадкові події. Класичне визначення ймовірності
- •2. Алгебра подій.
- •4. Застосування елементів комбінаторики до знаходження ймовірностей.
- •§ 1.2. Геометрична ймовірність. Статистичне й аксіоматичне визначення ймовірності
- •Властивості ймовірності
- •1.Теорема складання ймовірностей несумісних подій.
- •2.Теорема множення ймовірностей.
- •3.Теорема множення ймовірностей одночасних подій.
- •4.Формула повної ймовірності.
- •1.4. Випадкові події в фізиці , хімії, біології
- •Розділ іі випадкові величини
- •§ 2.1. Дискретні випадкові величини
- •1. Поняття «випадкові величини».
- •§ 2.2. Математичне сподівання дискретної випадкової величини
- •2. Властивості математичного сподіванняя дискретної випадкової величини.
- •§ 2.3. Дисперсія дискретної випадкової величини
- •3. Середнє квадратичне відхилення.
- •4. Поняття прo моменти розподілу.
- •§2.4. Основні закони розподілу дискретних випадкових величин.
- •§ 2.5. Неперервні випадкові величини
- •2.6. Математичне сподівання і дисперсія нескінченої випадкової величини
- •2.7.Основні закони розподілу нескінченних випадкових величин
- •2.8.Закон великих чисел
- •1.Нерівність Чебишева.
- •§ 2.9. Граничні теореми теорії ймовірності
- •§ 3.1. Поняття про двовимірну випадкову величину
- •§ 3.2. Функція розподілу двовимірної випадкової величини
- •Визначення функції розподілу двовимірної випадкової величини і її властивості.
- •2. Ймовірність попадання випадкової точки в напівсмугу і прямокутник.
- •§ 3.3. Щільність ймовірності двовимірної випадкової величини
- •Двовимірна щільність ймовірності і її властивості.
- •2. Знаходження функції розподілу двовимірної випадкової величини за допомогою двовимірної щільності імовірності.
- •§ 3.4. Знаходження щільності імовірності складових двовимірної випадкової величини
- •§ 3.5. Умовні закони розподілу складових двовимірних дискретних і неперервних випадкових величин
- •1. Умовні закони розподілу складових двовимірних дискретних випадкових величин.
- •2. Умовні закони розподілу складових двовимірних неперервних випадкових величин.
- •§ 3.6. Незалежність випадкових величин
- •§ 3.7. Елементи теорії кореляції
- •2. Кореляційний момент і коефіцієнт кореляції.
- •4. Нормальний розподіл двовимірної випадкової величини.
- •Елементи математичної статистики
- •§ 4.1. Генеральна сукупність і вибірка
- •2. Статистичний розподіл вибірки. Полігон. Гістограма.
- •§ 4.2. Оцінки параметрів генеральної сукупності по її вибірці
- •§ 4.3. Довірчі інтервали для параметрів нормального розподілу
§ 3.2. Функція розподілу двовимірної випадкової величини
Визначення функції розподілу двовимірної випадкової величини і її властивості.
В и з н а ч е н н я. Функцією розподілу двовимірної випадкової величини (X, У) (байдуже, дискретної або безперервної) називають функцію F(x, у), що визначає для кожної пари дійсних чисел x, у ймовірність того, що X прийме значення, менше x, і при цьому У прийме значення, менше у:
F(x, у)= P(X< x, Y< у).
y
A(x; y) Геометрично (мал.9) ця рівність являє
собою
ймовірність того, що випадкова
точка (X, Y) потрапить в безкінечний квадрант з вершиною (x, y), яка 0 x розташована лівіше і нижче цієї вершини. П р и к л а д. Знайдіть ймовірність того, що в результаті випробування складова X
двовимірної випадкової величини (X, Y)
Мал. 9 набуде значення X<4 і при цьому складова Y набуде значення Y<5, якщо відома функція розподілу цієї величини.
Р о з в ’ я зок. Маємо
.
Вкажемо властивості, якими володіє функція F (x, у).
0 ≤ F (x, у) ≤ 1.
Ця властивість виходить з того, що F (x, у) ймовірність.
F (x, у) – неспадна по кожному аргументу, тобто
F (x1, у) ≤ F (x2, у), якщо x1 < x2;
F (x, y1) ≤ F (x, y2), якщо y1 < y2.
Властивість стає наочною, якщо скористатися геометричною інтерпретацією функції розподілу.
Мають місце граничні співвідношення:
,
.
Ці співвідношення також виходять з геометричної інтерпретації функції розподілу.
При
функція розподілу системи прямує до функції розподілу, яка становить X(Y):
;
.
Дійсно, при безкінечний квадрант з вершиною в точці А(x, у) перетворюється на напівплощину, ймовірність попадання в яку є функція розподілу, яка становить X(Y).
2. Ймовірність попадання випадкової точки в напівсмугу і прямокутник.
Знайдемо ймовірність того, що в результаті випробування випадкова точка потрапить в напівсмугу x1 < X < x2 і y1 < У < y2 (мал. 10, б).
Віднімаючи від ймовірності попадання випадкової точки в квадрант з вершиною (x2; y1) ймовірність попадання цієї точки в квадрант з вершиною (x1; y1) (мал. 10, а) отримаємо
P(x1 ≤ X < x2, У < y1)= F(x2, y1) – F(x1, y1).
Аналогічно
P(X < x1, y1 ≤ У < y2)= F(x1, y2) – F(x1, y1).
у
у
(x1, y1) (x2, y1)
y1
0 x1 x2 x 0 x1 x
а б
Мал. 10
Отже, ймовірність попадання випадкової точки в напівсмугу дорівнює приросту функції розподілу по одному з аргументів.
Знайдемо ймовірність попадання випадкової точки (X; У) в прямокутник ABCD (мал. 11).
у А(x1,
y2)
B(x2,
y2)
y1 D (x1; y1) С(x2; y1)
0 x1 x2 x
Мал. 11
Для цього від ймовірності попадання випадкової точки в напівсмугу AB з вертикальним штрихуванням віднімемо ймовірність попадання цієї точки в напівсмугу DC з горизонтальним штрихуванням. Отримаємо
P(x1 ≤ X < x2, y1 ≤ У < y2)=
= (F(x2, y2) – F(x1, y2)) – (F(x2, y1) – F (x1, y1)). (3.1)
П р и к л а д. Знайдемо ймовірність попадання випадкової точки (X, У) в прямокутник, обмежений прямими, якщо відома функція розподілу
.
Розв’язок.
В даному прикладі у виразі (3.1),
і, означає
.