2.8.Закон великих чисел

1.Нерівність Чебишева.

Лема. Нехай Х-випадкова величина, приймаюча тільки невід”ємні значення ,тоді P(X

Доведення. Для простоти доведемо це твердження для дискретної величини Х, що приймає випадкові значення x ,x при умові x . По теоремі додавання ймовірностей для несумісних подій (§ 1.3,п.1) маємо P(X

де додавання розповсюджено на всі значення, які більші чи дорівнюють одиниці. Але для, x очевидно, P(X=x )

Тому P(X (2.30)

Додамо до правої частини нерівності (2.30) суму де x . Ця сума невід’ємна, так як x за умовою, а ймовірність P(X=x .Тому

Остання сума поширюється на всі значення х₁, набуті випадковою величиною Х. Отже (див. § 2.2, п. 1 )

Звідси, зіставляючи співвідношення (2.30) і (2.31), отримаємо шукану нерівність (2.29).

(2.32)

Нерівність (2.32) називається нерівністю Чебишева.

Доведення. Так як подія є рівносильною події

Т О

Випадкова величина невід'ємна, і значить, згідно з лемою, властивості 2 математичного сподівання (§ 2.2, п. 2) і визначенню дисперсії (§ 2.3, п. 1)

Тому

Приклад. Нехай випадкова величина Х має D(X)= 0,001. Яка ймовірність того, що вона відрізняється від М(Х) більш чим на 0,1?

За нерівністю Чебишева

Примітка. Відмітимо і іншу сторону нерівності Чебишева. Так як подія, виражена нерівністю протилежна події, вираженій нерівністю , то (§ 1.3, п. 1, наслідок 2)

Звідси з урахуванням нерівності (2.32) отримаємо таку формулу нерівності Чебишева:

(2.33)

2. Закон великих чисел Чебишева. Доведемо закон великих чисел в широкому та зручному для практики форматі, отриманому П.Л.Чебишевим.

Т еорема(теорема Чебишева; закон великих чисел). Якщо дисперсії незалежних випадкових величин Х₁, Х₂, … Х_п обмежені однією і тією ж сталою с, D(X₁)≤ с, i= 1, 2, ..., п_,, то яке б не було >0 , ймовірність виконання нерівності , де

буде близька до одиниці, якщо число випадкових величин n достатньо велике, тобто

(2.34)

Доведення. Застосовуючи нерівність Чебишева (2.33) до величини Х маємо

(2.35)

Користуючись властивостями дисперсії (§ 2.3, п. 2) і умовою теореми, отримаємо

Звідси, враховуючи нерівність (2.35) і те, що ймовірність будь-якої події не перевищує одиниці (§ 1, п. 3), отримаємо

(2.36)

Нарешті, переходячи в нерівності (2.36) до границі при n→∞, приходимо до шуканого співвідношення(2.34).

Частковий випадок теореми Чебишева. Якщо всі Х_к мають однакове математичне сподівання М(Х₁) = ... = М(Х_n) = а и D(Х_k)<с, k= 1, ..., n , то

(2.37)

І справді, в умовах розгляглянутого часткового випадка рівність (2.34) має вигляд (2.37).

С утність теореми Чебишева полягає в наступному. Незважаючи на те, що кожна із незалежних випадкових величин Х_к може набути значення, далеке від математичного сподівання М(Х_k), середнє арифметичне досить великого числа випадкових величин із великою ймовірністю близьке до середнього арифметичного їх математичного сподівання.

Теорема Чебишева має величезне практичне значення. Нехай, наприклад, вимірюється деяка фізична величина. Зазвичай в якості шуканого значення вимірюваної величини приймають середнє арифметичне результатів декількох вимірювань. Чи можливо рахувати такий підхід вірним? Теорема Чебишева (її частковий випадок) дає позитивну відповідь на дане питання.

На теоремі Чебишева засновано вибірковий метод, котрий досить широко застосовується в статистиці, згідно з яким, по порівняно невеликій вибірці, висувають судження, що стосується всієї сукупності досліджуваних об’єктів.

Із теореми Чебишева (частковий випадок) слідує теорема Бернуллі, котра є найпростішою формою закону великих чисел.

Теорема Бернуллі. Нехай m – число настання події А в n незалежних випробуваннях та p є ймовірністю події А в кожному із випробовувань. Тоді, яке б не було позитивне число ε,

Доведення. Позначимо через Х_k випадкову величину, рівну числу настання події А в k-му випробуванні, де k=1, 2, …, n. Тоді маємо (§ 2.4, п. 1)

m = Х₁ + Х₂ + ... + Х_n;

і всі умови окремого випадку теореми Чебишева виконані. Рівність (2.37) перетворюється в рівність (2.38).

Практичний зміст теореми Бернуллі наступний: при постійності ймовірності випадкової події А у всіх випробуваннях при необмеженому зростанні числа випробувань можна із ймовірністю, скільки завгодно близькою до одиниці (тобто скільки завгодно близькою до достовірності), стверджувати, що відносна частота випадкової події, що спостерігається, буде як завгодно мало відхилятися від її ймовірності.