Глава 7. Статистические методы изучения взаимосвязей

Методические указании и решение типовых задач

При статистическом исследовании корреляционных связей одной из основных задач является определение их формы, т.е. построение модели связи.

Построение регрессионной модели проходит несколько этапов: предварительный теоретический анализ, определение объекта, отбор факторов, сбор и подготовка информации, выбор модели Связи, исчисление показателей тесноты корреляционной связи, оценка адекватности регрессионной модели.

Вычисление параметров корреляционных линейных уравнений по первичным данным. Если результативный признак с увеличением факторного признака равномерно возрастает или убывает, то такая зависимость является линейной и выражается уравнением прямой

где у - индивидуальные значения результативного признака;

х — индивидуальные значения факторного признака;

, — параметры уравнения прямой (уравнения регрессии): у_х — теоретическое значение результативного признака. Параметры уравнения прямой и определяются путем решетя системы нормальных уравнений, полученных методом наименьших квадратов ил и по формулам

Что касается параметра уравнения регрессии в виде свободного члена, то возможен и такой подсчет:

Ясно, что практически приемлемым является наименее трудоемкий вариант расчета (возможно производить расчеты на компьютере).

В уравнении прямой параметр экономического смысла не имеет. Параметр является коэффициентом регрессии и показывает изменение результативного признака при изменении факторного признака на единицу. Часто исследуемые признаки имеют разные единицы измерения, поэтому для оценки влияния факторного признака на результативный применяется коэффициент эластичности. Он рассчитывается для каждой точки и в среднем по всей совокупности. Коэффициент эластичности (Э) определяется по формуле

где — первая производная уравнения регрессии.

Средний коэффициент эластичности определяется для уравнения прямой по формуле

Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов изменяется результативный признак при изменении факторного признака на 1%.

Определение параметров линейного однофакторного уравнения регрессии по сгруппированным данным. Если данные сгруппированы и представлены в виде корреляционной таблицы, то параметры линейного уравнения регрессии могут быть определены путем решения следующей системы нормальных уравнений:

или по формулам

где — групповые средние.

Параметр уравнения регрессии можно определить также и по формуле (5).

Расчет параметров степенной функции. Если значения факторного признака расположены в порядке геометрической прогрессии и Соответствующие значения результативного признака также образуют геометрическую прогрессию, то связь между признаками может быть представлена степенной функцией вида

Для определения параметров степенной функции методом на5йменыних квадратов необходимо привести ее к линейному виду путем логарифмирования:

Система нормальных уравнений имеет вид

Параметры можно определить, решая систему нормальных уравнений или по формулам

или

Параметр логарифмической функции является коэффициентом эластичности, который показывает, на сколько процентов изменяется результативный признак при изменении факторного признака на 1%.

Расчет параметров уравнения гиперболы. Если результативный признак с увеличением факторного признака возрастает (или убывает) не бесконечно, а стремится к конечному пределу, то для анализа такого признака применяется уравнение гиперболы вида

Для определения параметров этого уравнения используется система нормальных уравнений

Чтобы определить параметры уравнения гиперболы методом наименьших квадратов, необходимо привести его к линейному виду. Для этого произведем замену переменных

1/x = получим следующую систему нормальных уравнений:

Параметры уравнения гиперболы можно вычислить по формулам

Статистические методы измерения тесноты корреляционной связи между двумя признаками. Одним из важнейших этапов исследования корреляционной связи является измерение ее тесноты. Для этого применяются: линейный коэффициент корреляции, теоретическое корреляционное отношение, индекс корреляции.

Линейный коэффициент корреляции вычисляется по формулам и применяется дня измерения тесноты связи только при линейной форме связи:

Теоретическое корреляционное отношение и индекс корреляции применяются для измерения тесноты корреляционной связи между признаками при любой форме связи, как линейной, так и нелинейной. Оба показателя можно вычислять только после того, как определена форма связи и исчислена теоретическая линия регрессии.

Теоретическое корреляционное отношение рассчитывается по формулам

где — факторная дисперсия, которая характеризует вариацию

результативного признака под влиянием признака-фактора, включенного в модель;

общая дисперсия, показывающая вариацию результативного признака

под влиянием всех факторов, вызывающих эту вариацию.

Теоретическое корреляционное отношение изменяется от 0 до 1: чем ближе корреляционное отношение к 1, тем теснее связь между признаками.

Для упрощения расчетов меры тесноты корреляционной связи часто применяется индекс корреляционной связи, который определяется по следующим формулам:

Где остаточная дисперсия, характеризующая вариацию

результативного признака под влиянием прочих неучтенных факторов.

Проверка адекватности однофакторной регрессионной модели и значимости показателей тесноты корреляционной связи. Адекватность регрессионной модели при малой выборке можно оценить F- критерием Фишера:

где m— число параметров модели; n — число единиц наблюдения.

Эмпирическое значение критерия F_Э сравнивается с критическим (табличным) F_T с уровнем значимости 0,01 или 0,05 и числом степеней свободы (m ~ 1), (n ~ т ) , Если

F_Э > F_T , то уравнение регрессии признается значимым.

Значимость коэффициентов линейного уравнения регрессии и оценивается с помощью t-критерия Стьюдента (n < 30):

Эмпирическое значение t-критерия сравнивается с критическим (табличным) значением t-распределения Стьюдента с уровнем значимости 0,01 или 0,05 и числом степеней свободы (n - 2). Параметр признается значимым, если эмпирическое значение t больше табличного.

Аналогично проводится оценка коэффициента корреляции r с помощью t-критерия, который определяется по формуле

где (n - 2) — число степеней свободы.

Если эмпирическое значение t оказывается больше табличного, то линейный коэффициент корреляции признается значимым. Пример 1. Имеются выборочные данные по 10 однородным предприятиям.

№ предприятия……………………….1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Электровооруженность труда на

одного рабочего. кВт-ч……………..2 5 3 7 2 6 4 9 8 4

Выпуск готовой продукции

на одного рабочего, т……………….3 6 4 6 4 8 6 9 9 5

Построить однофакторную регрессионную модель.

Р ешение. Предположим, что между электровооруженностью труда и выпуском готовой продукции существует линейная корреляционная связь, которую можно выразить уравнением прямой вида

Факторным признаком является электровооруженность труда, а результативным — выпуск готовой продукции.

Для определения формы корреляционной связи необходимо вычислить параметры уравнения прямой путем решения системы нормальных уравнений вида (2). Чтобы заполнить систему нормальных уравнений фактическими данными, необходимо определить , .

Расчеты этих показателей произведем в табл. 7.1.

Таблица 7.1.

Расчет сумм для вычисления параметров уравнения прямой

по несгруппированным данным

Подставим в систему нормальных уравнений (2) фактические данные из табл. 7.1 и получим равенства

Систему нормальных уравнений решаем в такой последовательности (по методу множителей): умножим каждый член первого уравнения на число, равное 5. Получим

Затем вычтем из второго уравнения первое: 43 = 54а₁ , откуда а₁ = 43/54 = 0,7963.

После подстановки значения а₁ в первое уравнение получим а₀ = 2.02.

Уравнение регрессии имеет вид а₁ = 2,02 + 0,796x .

С помощью определителей параметры уравнения прямой можно вычислить по формулам (3) и (4).

Если параметры регрессионного уравнения определены верно, тo должно соблюдаться равенство сумм теоретических и эмпирических значений выпуска готовой продукции, а сумма разностей между эмпирическими и теоретическими значениями выпуска гото[вой продукции должна быть равна нулю.

Окончательную проверку правильности расчета параметров уравнения связи можно также произвести подстановкой а₀ и а₁ в систему нормальных уравнений (рассматривая их как корни уравнения).

Используя уравнение корреляционной связи, можно определить теоретическое значение у_х для любой промежуточной точки (теоретическое значение выпуска готовой продукции на одного рабочего для любого промежуточного значения электровооруженности труда одного рабочего (см. табл. 7.1).

В нашем уравнении регрессии параметр а₁ = 0,796 показывает, что с увеличением

электровооруженности труда одного рабочего на кВт • ч выпуск готовой продукции возрастет на 0,796 т.

Средний коэффициент эластичности исчислим по формуле (7):

Коэффициент эластичности, равный 0,66, показывает, что с увеличением электровооруженности труда на 1% выпуск готовой продукции возрастет на 0,66%.

Измерим тесноту корреляционной связи между производительностью и электровооруженностью труда линейным коэффициентом корреляции, теоретическим корреляционным отношением, индексом корреляции, которые рассчитываются по формулам (23), (26), (28). Данные, необходимые для расчета этих показателей, представлены в табл. 7.1.

Д ля расчета теоретического корреляционного отношения необходимо предварительно вычислить дисперсии по формулам:

Теоретическое корреляционное отношение по формуле (26) равно

Коэффициент детерминации η² равен 0,856. Индекс корреляции по формуле (28)

Все показатели тесноты корреляционной связи показывают тесную связь между производительностью и электровооруженностью труда. Коэффициент детерминации 0,856 означает, что вариация выработки рабочих на 85,6% объясняется вариацией электровооруженности труда и на 14,4% — прочими факторами. Так как r = R = η ,то можно сделать заключение, что гипотеза о линейной форме связи подтверждена.

Проведем оценку адекватности регрессионной модели у_х = 2,02 + 0,796х, выражающей зависимость между производительностью и электровооруженностью труда, с помощью F-критерия Фишера — формула (30):

Табличное значение F_T с уровнем значимости 0,05 и числом степеней свободы (2 - 1), (10 - 2) равно 5,32. Так как F₀ > F_T, то уравнение регрессии можно признать адекватным.

Оценим значимость параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента по формулам (31) и (32):

Значение σ_х вычисляется по формуле (33).

Табличное значение t-критерия с уровнем значимости 0,05 и числом степеней свободы (n - 2) равно 2,307.

Так как t_эмп > t_табл , то параметры уравнения регрессии можно признать значимыми.

Значимость коэффициента корреляции оценим с помощью t-критерия по формуле (34):

Эмпирическое значение t больше табличного, следовательно, коэффициент корреляции можно признать значимым.

Вычислим ошибку аппроксимации по формуле

Так как параметры уравнения регрессии значимы, уравнение значимо, показатели тесноты значимы, ошибка аппроксимации ровна 5,8%, коэффициент детерминации равен 0,856, то можно сделать заключение, что построенная регрессионная модель зависимости производительности труда от его электровооруженности у_х = 2,02 + 0,796x

может быть использован для анализа и прогноза.

Пример 2. Имеются данные по 52 предприятиям отрасли.

Группа заводов по фондо- вооруженности. млн. руб x	Количество заводов ƒ	Объем продукции млн. руб. y
5-7 7-9 9-11 ….. 21-23 23-25	1 2 3 ….. 2 1	3.0 5.0 6.3 ….. 17.0 19.0

По исходным данным найти параметры линейного корреляционного уравнения, характеризующего зависимость между продукцией фондовооруженностью.

Решение. Параметры линейного уравнения регрессии у_х = а₀ + а₁ x можно вычислить по формулам (15), (17). Расчетные данные для вычисления параметров представлены в табл. 7.2.

Таблица 7.2

Расчет сумм для вычисления параметров уравнения прямой

по сгруппированным данным

Расчетные данные из табл.7.2 подставим в формулы (9),(10) и определим параметры а₀ и а₁:

Параметр а₁ показывает, что с ростом фондовооруженности на 1 млн. руб. объем произведенной продукции увеличивается на 0,838 млн. руб.

Уравнение регрессии имеет вид

Пример 3. По 10 однородным магазинам имеются следующие данные:

П о исходным данным определить уравнение регрессии (связь гиперболическая) между товарооборотом и товарными запасами. Решение. Для определения параметров уравнения гиперболы вида

необходимо построить систему нормальных уравнений (19), (20) и методом определителей вычислить параметры а₀ и а₁ по формулам (21) и (22). Расчетные данные для вычисления параметров уравнения гиперболы содержатся в табл. 7.3.

Таблица 7.3

Расчет сумм для определения параметров уравнения гиперболы

Подставив значения фактических данных из табл. 7.3 в систему формальных уравнений, получим

Вычислим параметры а₀ и а₁ по формулам (21), (22), подставляя расчетные данные из табл. 7.3:

Уравнение регрессии имеет вид

Пример 4. Имеются следующие данные по группе однородных предприятий:

По исходным данным найти уравнение логарифмической корреляционной зависимости продукции от основных фондов.

Решение. Параметры степенного уравнения можно найти путем решения системы нормальных уравнений (13) или по формулам (14), (15).

Определим параметры степенной функции по формулам (14) и (15). Расчетные данные для вычисления параметров содержатся в табл. 7.4.

Таблица 7.4

Расчет сумм для определения параметров степенного уравнения регрессии

Уравнение корреляционной связи имеет вид

Параметр а₁ показывает, что с ростом основных фондов на 1% продукция увеличится на 0,28%.

Построение моделей связи а виде уравнении множественной регрессии. Изменение экономических явлений происходит под влиянием не одного, а большого числа самых разнообразных факторов. Связь между результативным признаком и двумя и более факторами принято выражать уравнением множественной регрессии.

Уравнения множественной регрессии могут быть линейные, криволинейные и комбинированные.

Наиболее простым видом уравнения множественной регрессии является линейное уравнение с двумя независимыми переменными:

Параметры уравнения множественной регрессии определяются методом наименьших квадратов путем решения системы нормальных уравнений:

Параметры уравнения множественной регрессии показывают результативного признака при изменении факторного признака на единицу. Для оценки влияния факторных признаков на результативный рассчитываются частные коэффициенты эластичности и бета-коэффициенты.

Частный коэффициент эластичности (Э) вычисляется по формуле

где а_i — параметр при признаке-факторе;

— средние значения факторного и результативного признаков.

Частный коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов изменяется результативный признак при изменении факторного признака на 1% при фиксированных значениях других факторов.

Бета-коэффициент (β) вычисляется по формуле

Бета-коэффициент показывает, на какую часть сигмы изменяется результативный признак при изменении факторного признака на величину его сигмы.

Сравнение бета-коэффициентов при различных факторах дает возможность оценить силу их воздействия на результативный признак.

Параметры уравнения регрессии можно определять по формулам через коэффициенты корреляции и средние квадратические отклонения:

Парные коэффициенты корреляции можно вычислить по следующим формулам:

Средние квадратические отклонения определяются по формулам

Статистические методы измерении тесноты корреляционной связи в многофакторных моделях. При проведении многофакторного корреляционного анализа возникает необходимость расчета множественных, парных и частных коэффициентов корреляции. Для измерения тесноты корреляционной связи между результативным признаком и несколькими факторными при линейной форме связи рассчитывается множественный коэффициент корреляции по формуле

г де — парные коэффициенты корреляции.

Множественный коэффициент корреляции изменяется от 0 до +1. Он показывает тесноту корреляционной связи между результативным признаком и факторными признаками, включенными в уравнение множественной регрессии.

Парные коэффициенты корреляции вычисляются по формулам

или по формулам (42), (43), (44).

Парные коэффициенты корреляции показывают тесноту корреляционной связи как между факторными и результативными признаками, так и между признаками-факторами,

Для исследования тесноты корреляционной связи между признаками при построении моделей множественной регрессии применяется частные (парные) коэффициенты корреляции, которые характеризуют тесноту корреляционной связи между факторным и результативным признаками, при элиминировании влияния учтенных факторов.

Частные коэффициенты корреляции вычисляются по формулам

Теоретическое корреляционное отношение и совокупный индекс корреляции. Эти показатели имеют такой же экономический смысл, что и при парной регрессии, и определяются по формулам

Вместо теоретического корреляционного отношения может быть использован адекватный ему показатель — совокупный индекс корреляции:

Проверка адекватности многофакторной регрессионной модели.

Построенное уравнение множественной регрессии необходимо содержательно интерпретировать и оценить его с точки зрения адекватности реальной действительности. Прежде всего следует установить, соответствуют ли полученные данные тем гипотетическим представлениям, которые сложились в результате анализа, и показывают ли они причинно-следственные связи, которые ожидались.

Для оценки адекватности модели можно вычислить отклонение теоретических данных от

эмпирических, остаточную дисперсию, а также ошибку аппроксимации, которая определяется по формуле:

Особое внимание необходимо обратить на интерпретацию и оценку параметров уравнения. Параметры уравнения регрессии следует проверить на их значимость.

Для оценки значимости параметров при малых выборках уравнения множественной регрессии используется t-критерий Стьюдента при ( n — m — 1 )степенях свободы:

Значения а₀ и а₁ берутся по модулю. Параметры признаются значимыми, если t_эмп > t_табл с уровнем значимости 0,05 и числом степеней свободы ( n — m — 1 ).

Адекватность уравнения регрессии оценивается с помощью F-критерия Фишера, который определяется по формуле

Если F_э > F_T, то уравнение множественной регрессии признается значимым. Табличное значение F_T определяется с уровнем значимости 0,01 или 0,05 и числом степеней свободы (m - 1), (n - m ) .

Существенность совокупного коэффициента корреляции также оценивается с помощью

f-критерия Стьюдента:

Если t_эмп > t_табл с заданным уровнем значимости 0,01 или 0,05 и числом степеней свободы (n — m — 1), то коэффициент множественной корреляции признается значимым.

Пример 5. Имеются данные о выработке, продолжительности внутрисменных простоев и производственном стаже рабочих.

По исходным данным найти уравнение множественной регрессии, характеризующее связь между выработкой, продолжительностью внутрисменных простоев и производственным стажем рабочих.

Решение. Предположим, что связь между исследуемыми признаками линейная и уравнение регрессии имеет вид

Введем обозначения признаков:

x1— продолжительность внутрисменных простоев;

x2— производственный стаж рабочих; у — выработка изделий.

Параметры уравнения множественной регрессии определим по формулам (38), (39), (40).

Необходимые данные для расчета параметров вычислим в табл. 7.5.

Произведем расчет параметров уравнения множественной регрессии. Для этого предварительно вычислим σ_х1 , σ_{х2 ,} σ_y. Данные для расчета этих показателей возьмем из табл. 7.5.

Подставив в формулу (45) данные из табл. 7.5, получим значение; σ_х1;

Подставим данные из табл. 7.5 в формулу (47) и вычислим значение σ_х2 ;

Данные из табл. 7.5 подставим в формулу (46), получим значение σ_y ;

Таблица 7.5

Расчет сумм для определения параметров уравнения

множественной регрессии

Исходные данные				Расчетные данные
№ рабо­чего	Вы- ра­бот- ка. т y	Внут­ри- смен­ные про­стои, мин x1	Про- из­вод- ствен- ный стаж, лет x2	y2			yx1	yx2	x1x2	yx1x2	(y- yx1x2) 2
1	39.0	19	4	1521.0	361	16	741	156.0	76	38.841	0.3721
2	38.7	15	3	1497.69	225	9	580.5	116.1	45	38.912	0.0001
3	38.9	17	4	1513.21	289	16	661.3	155.6	68	38.981	0.1681
9	40.4	10	7	1632.16	100	49	404.0	282.8	70	40.098	0.3844
10	39.5	13	5	1560.25	169	25	513.5	197.5	65	39.470	0.04
Кто- то	394	140.0	50.0	15526.1	2030	264	5506.1	1974.6	676	394.0	5.763
В сред-нем	39.4	14.0	5,0	1552.61	203	26.4	550.61	197.46	67.6	39.4	0.576

Вычислим коэффициенты корреляции по формулам (42),(43),(44)

Подставим данные из табл. 7.5 и вычисленные σ в формулы коэффициентов корреляции.

Вычислим по формуле (42), вычислим по формуле (43), вычислим по формуле (44):

Подставляя значения парных коэффициентов корреляции и средних квадратических отклонений в формулы (39), (40), (41), получим значения параметров а₀ ,а₁, а₂ ;

Уравнение множественной регрессии имеет вид

Параметр а₁ показывает, что с увеличением внутрисменных простоев на 1 мин выработка продукции снижается на 0,07 т. Параметр а₂ показывает, что с увеличением стажа рабочего на 1 год выработка продукции увеличивается на 0,209 т. Вычислим частный коэффициент эластичности по формуле (39).

где Э₁ = -0,0248 показывает, что с увеличением простоев на 1% выработка продукции снижается на 2,48%.

Вычислим коэффициенты эластичности выработки от стажа по формуле (39):

Коэффициент эластичности Э₂ показывает, что с увеличением стажа на 1% выработка увеличивается на 2,65%. Бета-коэффициенты вычислим по формуле (38):

Анализ бета-коэффициентов показывает, что наиболее сильное влияние на производительность труда оказывает стаж рабочего. Измерим тесноту корреляционной связи между выработкой рабочих, внутрисменными простоями и стажем работы с помощью парных коэффициентов корреляции. Эти показатели, вычисленные ранее при определении параметров уравнения регрессии, равны

Анализ коэффициентов корреляции показывает, что между выработкой и внутрисменными простоями существует тесная обратная корреляционная связь, между выработкой и стажем работы — тесная прямая связь. Коэффициенты парной корреляции отражают влияние на результативный признак не только исследуемого фактора, но и других, не включенных в модель факторов, которые связаны с исследуемым.

Для более точной оценки тесноты корреляционной связи вычислим частные коэффициенты корреляции по формулам (52), (53), (54):

Коэффициенты частной корреляции показывают, что влияние стажа на выработку рабочих, при исключении влияния внутрисменных простоев, меньше, чем при парной корреляции. Большее влияние на выработку оказывает стаж рабочих.

Вычислим множественный коэффициент корреляции по формуле (48);

Для измерения тесноты корреляционной связи между выработкой, простоем и стажем рабочего вычислим совокупный индекс корреляции по формуле (56). Для этого построим вспомогательную таблицу (табл. 7.6), в которую включим данные из табл. 7.5. Уравнение множественной регрессии рассчитано по формуле

Для расчета индекса корреляции по формуле (56) предварительною вычислим общую и

остаточную дисперсию по формулам

Индекс корреляции по формуле (56) равен

Значения множественного коэффициента корреляции и индекса корреляции 0,869 и 0,812 свидетельствуют о наличии тесной корреляционной связи между выработкой, стажем и внутрисменными простоями, а расхождение между ними менее 0.1 подтверждает гипотезу о линейной форме связи.

Исходные данные				Расчетные данные
№ рабо­чего	Вы- ра­бот- ка. т. y	Внут­ри- смен­ные про­стои, мин x1	Стаж лет x2
1	39.0	19	4		-0.4	0.16	38.841	0.159	0.025	0.004
2	38.7	15	3		-0.7	0.49	387.912	-0.212	0.045	0.0054
3	38.9	17	4		0.5	0.25	38.981	-0.081	0.007	0.0020
9	40.4	10	7		1.0	1.00	40.098	0.302	0.091	0.0074
10	39.5	13	5		0.1	0.01	39.470	0.030	0.0009	0.0007
Ито- го	394	140.0	50.0		—	2.5	394.0	—	0.849	0.0814
В сред-нем	39.4	14,0	5,0		—	0.25	39.4	—	0.0849	—

Оценку адекватности регрессионной модели yx1x2 = 39,335 - 0,07 x1 + 0,209 x2 произведем с помощью F-критерия Фишера. Для этого предварительно вычислим факторную дисперсию по формуле

F-критерий по формуле (60) равен

Табличное значение F_T с уровнем значимости 0,05 и числом степеней свободы (2), (7) равно 4,74. Так как F_Э > F_T, то уравнение регрессии можно признать значимым, адекватным.

Оценим значимость параметров уравнения множественной репрессии с помощью t-критерия Стьюдента по формулам (58, 59):

Табличное значение t-критерия с уровнем значимости 0,05 и числом степеней свободы 6 равно 2,447. Так как t_эмп < t_табл , то в Отношении значимости параметров а₁ и а₂ уравнения регрессии возникают сомнения.

Одной из причин такой неопределенности суждения относительно параметров а₁ и а₂ является небольшое число наблюдений. Эта величина должна превышать число параметров в 6—7 раз, поэтому в данном случае она должна составлять не менее 18 единиц. Оценим значимость коэффициента множественной корреляции с помощью t-критерия Стьюдента по формуле (60):

Табличное значение t-критерия с уровнем значимости 0,05 и числом степеней свободы 6 равно 2,447.

Так как t _эмп > t_табл , коэффициент множественной корреляции можно признать значимым.

Коэффициент детерминации, равный 0,659, показывает, что вариация выработки на 65,9% объясняется вариацией внутрисменных простоев и стажем работы, а на 34,1% — прочими факторами.

Вычислим среднюю ошибку аппроксимации:

где

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. По 10 однородным предприятиям имеются следующие данные:

По исходным данным постройте однофакторную регрессионную модель зависимости между выпуском бракованной продукции и профессиональной подготовкой рабочих.

Вычислите коэффициенты эластичности, показатели тесноты корреляционной связи.

Проверьте найденную модель на адекватность. Сделайте выводы. Постройте графики.

Задача 2. Имеются следующие данные по 120 предприятиям отрасли:

Энерговооруженность. кВт-ч	Количество заводов	Производительность труда, шт.
7—10	6	14
10—13	11	16
13—16	35	19
16—19	26	22
19—21	17	25
21—24	12	27
24—27	8	31
27—30	5	35

По исходным данным постройте линейное уравнение корреляционной связи между энерговооруженностью и производительностью труда.

Сделайте выводы о пригодности модели для анализа и прогноза.

Задача 3. По 8 однородным магазинам имеются следующие данные:

Найдите уравнение корреляционной связи товарооборота и уровня издержек обращения.

Изобразите графически корреляционную связь.

Вычислите коэффициенты эластичности, показатели тесноты корреляционной связи.

Проверьте найденную модель на адекватность. Сделайте выводы. Постройте графики.

Задача 4. По 25 предприятиям отрасли имеются следующие данные:

№ пред- приятия	Продукция, тыс шт.	Потребление сырья, тыс. т	Объем электропотреб- ления . кВт ч
1	24.6	3.2	2.3
2	37.4	4.1	1.7
3	45.4	2.2	0,9
4	46.7	1.6	2.0
5	50.1	4.4	2.7
6	51.3	10.5	3.7
7	55,0	2.6	1.0
8	66.5	5.7	2.0
9	68.3	9.5	2.1
10	70.8	5.0	1.6
11	86.1	2.8	2.0
12	96.9	8.1	2.3
13	99.1	6.0	1.5
14	111.9	6.2	2.8
15	122.6	10.6	4.2
16	166.9	8.3	2.6
17	171.6	6.1	2.2
18	173.8	9.8	3.5
19	177.5	9.6	8.5
20	177.6	13.3	4.2
21	171.2	12.3	4.6
22	213.0	7.7	3.9
23	257.1	13.1	6.5
24	269.3	19.5	5.3
25	359.2	21.5	7.8

По исходным данным найдите уравнение корреляционной связи (связь линейная) между продукцией, потреблением сырья и объемом электроэнергии. Вычислите коэффициенты эластичности, бета-коэффициенты, показатели тесноты корреляционной связи. Оцените адекватность найденной модели. Проведите анализ модели и сделайте заключение о пригодности полученной модели для анализа и прогноза.