Глава 6. Индексы

Методические указания и решение типовых задач

Индексы — обобщающие показатели сравнения во времени и в пространстве не только однотипных (одноименных) явлений, но и совокупностей, состоящих из несоизмеримых элементов.

Методики построения и расчета индексов как для временных, так и для пространственных сравнений одинаковы. Не различаются между собой и методы построения индексов различных явлений. Поэтому в данной главе формулы для расчета индексов приведены на примере индексируемых цен (p),объемов продаж (производства) (q),товарооборотов (pq), изменяющихся во времени.

Динамика одноименных явлений изучается с помощью индивидуальных индексов (i), которые представляют собой известные относительные величины сравнения, динамики или выполнения плана (обязательств):

где подстрочное обозначение «0» соответствует уровню базисного периода (с которым сравнивают) или момента времени, «1» —

уровню отчетного (сравниваемого) периода или момента времени. Изменения совокупностей, состоящих из элементов, непосредственно не сопоставимых (например, различных видов продукции), изучают с помощью групповых, или общих, индексов (I), Последние по методам построения подразделяются на агрегатные индексы и средневзвешенные из индивидуальных индексов.

Формулы агрегатных индексов:

1) физического объема:

где q — индексируемая величина; р₀ — со измеритель, или вес, который фиксируется на уровне одного и тою же периода. В случае индексов объемных показателей весами являются качественные показатели (цена, себестоимость и др.), зафиксированные на уровне базисного периода.

Разница между числителем и знаменателем индекса

в данном случае означает абсолютное изменение товарооборота (прирост или снижение) за счет изменения физического объема;

2) цен и других качественных показателей:

(формула Пааше),

(формула Ласпейреса),

где q — объемы (количества) являются весами, взятыми на одинаковом уровне (отчетном или базисном).

Разница между числителем и знаменателем индексов

означает:

• в первом случае — абсолютный прирост товарооборота (выручки от продаж) в результате среднего изменения цен или экономию (перерасход) денежных средств населения в результате среднего снижения (повышения) цен:

• во втором случае — условный абсолютный прирост товарооборота, если бы объемы продаж в отчетном периоде совпали с объемами продаж в базисном периоде;

3) товарооборота (выручки от реализации или продаж):

где pq — индексируемое сложное явление, в состав которого входят соизмеримые элементы совокупности. Разница между числителем и знаменателем индекса составляет абсолютное изменение товарооборота за счет совместного действия обоих факторов: цен на продукцию и ее количества.

Формулы средних индексов из индивидуальных:

1. физического объема:

где — доля товарооборота отдельных видов продукции в общем товарообороте базисного периода;

2. цен:

где — доля товарооборота отдельных видов продукции в общем товарообороте отчетного периода;

Если индексы качественных показателей построены на основе весов, взятых на уровне отчетного периода (например, по формуле Пааше), то рассмотренные выше агрегатные индексы, а также их элементы взаимосвязаны между собой:

I_pq = I_p l_q (так называемая мультипликативная модель);

(так называемая аддитивная модель).

Участие каждого фактора в формировании общего прироста товарооборота в относительном выражении может быть определено так:

Если сравнивают друг с другом не два периода (момента), а более, то выделяют ценную и базисную системы индексов. Цепные и базисные индивидуальные индексы взаимосвязаны между собой:

• произведение цепных индексов равно конечному базисному;

• частное от деления двух смежных базисных индексов равно промежуточному цепному.

Между цепными и базисными общими индексами, построенными на основе постоянных весов, существует взаимосвязь, аналогичная взаимосвязи между индивидуальными индексами.

Индексы, построенные на основе переменных весов, непосредственно перемножать и делить нельзя.

Решение типовых задач

Пример 1. Имеются следующие данные о проданных товарах:

Определить:

1) индивидуальные индексы объемов продаж в натуральном выражении, цен и товарооборота;

2) агрегатные индексы физического объема;

3) агрегатные индексы цен по формулам Пааше и Ласпейреса;

4) общий индекс товарооборота;

5) абсолютные приросты товарооборота за счет изменения объемов продаж, цен и за счет совместного действия обоих факторов. Показать взаимосвязь между общими индексами и между абсолютными приростами товарооборота.

Решение.

1. По товару «А»:

При этом

По товару «Б»:

При этом

(количество проданных товаров по двум видам в среднем снизилось на 19%).

3. а) по формуле Пааше:

(средний прирост цен на все товары составил 27,4%);

б) по формуле Ласпейреса:

(если бы население приобрело товаров в отчетном периоде столько же, сколько и в базисном, то цены в среднем увеличились бы на 28%).

Заниженное значение индекса цен Пааше объясняется тем, что более резкое повышение цены на товар «А» (на 33,3%) по сравнению с товаром «Б» (на 20%) вызвало и более резкое снижение объема покупок (на 25% по сравнению с 10%).

(товарооборот по двум товарам увеличился на 3,2%).

(за счет среднего снижения количества реализованных товаров выручка от продажи снизилась на 4750 тыс. руб.);

по методике Пааше

(за счет среднего роста цен денежная выручка продавцов возросла на 5550 тыс. руб.; эту же величину составил перерасход денежных средств населения);

по методике Ласпейреса

(если население в отчетном периоде купило бы столько же товаров, что и в базисном, то в результате среднего роста цен переплата составила бы 7000 тыс. руб.);

(товарооборот по всем товарам возрос на 800 тыс. руб.).

Взаимосвязь (действует при условии, что индекс I_р найден по методике Пааше):

между индексами:

между абсолютными приростами товарооборота:

Пример 2. Имеются следующие производственные показатели до предприятию:

Определить:

1) на сколько процентов изменился выпуск продукции по двум видам;

2) как изменилась трудоемкость продукции, если общие затраты времени на ее производство в III квартале снизились на 10%;

3) экономию рабочего времени в результате среднего снижения трудоемкости.

Решение.

в среднем выпуск продукции снизился на 4,2%).

трудоемкость продукции в среднем снизилась на 6,1%).

Пример 3. Имеются следующие данные о производстве изделии малом предприятии:

Определить:

1) среднее изменение себестоимости по всем изделиям в мае по Сравнению с апрелем;

2) на сколько процентов в среднем возрос (уменьшился) объем выпуска продукции в натуральном выражении, если денежные затраты на производство повысились на 1%.

Решение.

(среднее увеличение себестоимости всех изделий составило 2,8%).

(в среднем по двум изделиям их выпуск снизился на 1,7%).

Пример 4. Имеются следующие данные о продаже масла в магазине по кварталам:

Вычислить цепные и базисные, индивидуальные и общие индексы физического объема и цен.

Показать взаимосвязи между ними. Решение.

1. Индексы физического объема

1.1. Индивидуальные (на примере масла в пачках)

1.1.1. Цепные:

2. Базисные:

(индексы по маслу развесному вычисляются аналогично).

1.2. Общие

1.2.1. Цепные:

1.2.2. Базисные:

Взаимосвязь:

2. Индексы цен

2.1. Индивидуальные (на примере масла развесного)

2.1.1. Цепные:

2.1.2. Базисные:

2.2. Общие (по методике Пааше)

2.2.1. Цепные:

2.2.2. Базисные:

Взаимосвязь:

Индексный метод широко применяется также для изучения динамики средних величин и выявления факторов, влияющих на динамику средних. С этой целью исчисляется система взаимосвязанных индексов: переменного, постоянного состава и структурных сдвигов. Индекс переменного состава представляет собой отношение двух свешенных средних величин с переменными весами, характеризующее изменение индексируемого (усредняемого) показателя.

Индекс переменного состава для любых качественных показателей имеет следующий вид:

Величина этого индекса характеризует изменение средневзвешенной средней за счет влияния двух факторов: усредняемого показателя у отдельных единиц совокупности и структуры изучаемой совокупности.

Индекс постоянного (фиксированного) состава представляет собой отношение средних взвешенных с одними и теми же весами (при постоянной структуре). Индекс постоянного состава учитывает изменение только индексируемой величины и показывает средний размер изменения изучаемого показателя (х) у единиц совокупности. В общем виде он может быть записан следующим образом:

Для расчета индекса постоянного состава можно использовать агрегатную форму индекса:

Индекс структурных сдвигов характеризует влияние изменения структуры изучаемого явления на динамику среднего уровня индексируемого показателя и рассчитывается по формуле

Под структурными изменениями понимается изменение доли отдельных групп единиц совокупности в общей их численности (d). Система взаимосвязанных индексов при анализе динамики среднего уровня качественного показателя имеет вид

В индексах средних уровней в качестве весов могут быть взяты удельные веса единиц совокупности , которые отражаю изменения в структуре изучаемой совокупности. Тогда систему взаимосвязанных индексов можно записать в следующем виде:

или

индекс средней индекс индекс

_{величины =} постоянного ˟ структурных

_{(переменного состава)} состава сдвигов

Аналогично приведенным формулам строятся индексы средних ровней: цен,себестоимости продукции, фондоотдачи, производительности труда, оплаты труда и др.

Пример 5. Имеются данные о выпуске однородной продукции по предприятиям АО:

Определить для двух предприятий:

1) среднюю себестоимость единицы продукции;

2) индекс средней себестоимости продукции;

3) среднее изменение себестоимости продукции;

4) индекс структурных сдвигов.

Решение. 1. Средняя себестоимость единицы данного вида продукции по двум предприятиям АО определяется как средняя арифметическая взвешенная:

2. Индекс себестоимости продукции переменного состава равен

средняя себестоимость единицы продукции по двум предприятиям возросла на 8,6%).

Это означает, что в среднем по двум предприятиям себестоимость единицы продукции повысилась на 10,3%.

4. Индекс структурных сдвигов может быть рассчитан с помощью взаимосвязи индексов:

Средняя себестоимость единицы продукции по двум предприятиям снизилась на 1,5% за счет изменения удельного веса отдельных предприятий в общем выпуске продукции.

Если в качестве весов взять удельные веса отдельных предприятий в общем объеме выпуска продукции , то получим следующую* систему взаимосвязанных индексов:

Общий вывод: если бы происшедшие изменения себестоимости продукции не сопровождались структурными перераспределениями в ее выпуске, то средняя себестоимость продукции по двум предприятиям возросла бы на 10,3%. Изменение структуры выпуска продукции отдельных предприятий в общем объеме выпуска вызвало снижение себестоимости на 1,5%. Одновременное воздействие двух факторов увеличило среднюю себестоимость продукции по двум предприятиям на 8,6%.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Имеются данные по предприятию о выпуске разноименной продукции:

Определите:

1) индивидуальные индексы объема выпуска продукции;

2) среднее изменение физического объема производства продукции по двум видам;

3) абсолютное изменение общих денежных затрат на выпуск продукции в результате среднего изменения объема производства в натуральном выражении.

Задача 2. Используя данные задачи 1 и в предположении, что выпущенная продукция в базисном периоде была продана по видам: 1 — по цене 21 руб.;

2 — по цене 116 руб.;

вычислите общий индекс физического объема реализованной продукции. Сравните полученный результат с аналогичной величиной, найденной в задаче 1, укажите причину различия.

Определите абсолютный прирост выручки от реализации за счет среднего изменения физического объема реализованной продукции.

Задача 3. Используя данные задачи 1 об объеме выпущенной продукции, а также информацию о том, что в базисном периоде трудоемкость единицы первого вида продукции составила 2,0 человеко-часов, а второго — 4,0 человеко-часов, определите, на сколько процентов изменился в среднем объем выпущенной продукции по всем ее видам, опираясь на новый соизмеритель (вес). Сравните найденный результат с аналогичными показателями по задачам 1 и 2, поясните различия между ними.

Рассчитайте, на сколько человек следовало бы сократить численность рабочих в результате среднего снижения физического объема производства при 8-часовой продолжительности рабочего дня, пятидневной рабочей неделе и продолжительности отчетного Периода, равной 4 неделям.

Задача 4. Имеются следующие данные о производстве изделий:

Определите среднее изменение количества выпущенных изделий в данном периоде по сравнению с предыдущим. Поясните, почему результат дает среднее снижение, а не увеличение выпуска.

Задача 5. Выручка от продажи мяса и мясопродуктов на рынке в январе превысила выручку от продажи рыбы и рыбопродуктов в 2 раза. В феврале продажа мяса и мясопродуктов возросла на 15%, рыбы и рыбопродуктов — на 20%.

Определите:

1) на сколько процентов в среднем возросла продажа двух видов продукции вместе;

2) абсолютный прирост товарооборота по обоим видам продукции вместе вследствие среднего увеличения объема их продаж в натуральном выражении, если в январе за мясо и мясопродукты продавцами выручено 24 тыс. руб.

Задача 6. Имеются следующие данные по предприятию:

Вычислите:

1) общий индекс физического объема производства разнородной продукции;

2) абсолютное сокращение (увеличение) затрат труда вследствие среднего изменения объема выпуска продукции, если на всю продукцию «А» в I квартале было затрачено 450 человеко-часов рабочего времени.

Задача 7. Имеются следующие данные о продажах товаров на одном из рынков:

Определите:

1) индивидуальные индексы цеп по каждому товару;

2) общий индекс цен:

а) но формуле Ласпейреса;

б) по формуле Пааше:

3) перерасход денежных средств населением в результате среднего повышения цен на товары.

Объясните причины расхождения между величинами данных индексов.

Задача 8. Себестоимость и выпуск продукции на предприятии характеризуются следующими данными:

Вычислите:

1) индивидуальные индексы себестоимости продукции;

2) общий индекс себестоимости продукции.

Определите, на сколько возросли затраты на производство продукции за счет среднего увеличения себестоимости.

Задача 9. Имеются следующие данные о реализации продукции первом и втором полугодиях:

Определите:

1) на сколько процентов в среднем изменились цены на всю реализованную продукцию во втором полугодии по сравнению с первым;

2) прирост выручки от реализации за счет среднего изменения на продукцию.

Задача 10. В течение рассматриваемых периодов цены на непродовольственные товары не изменились, а на продовольственные возросли в среднем на 20%.

Определите, на сколько процентов в среднем повысились цены все товары вместе, если доля выручки от продажи продовольственных товаров в общей торговой выручке отчетного периода составила 60%.

Задача 11. Определите, как должны были бы измениться цены на непродовольственные товары при среднем 15%-м увеличении цен на продовольственные товары, если общий средний рост цен на всю продукцию составил 12%.

Дайте два варианта ответа:

1) когда объемы товарооборота по продовольственным и непродовольственным товарам в отчетном периоде равны;

2) когда объем товарооборота по непродовольственным товарам составил 5/16 объема по продовольственным товарам.

Задача 12. Опираясь на систему взаимосвязанных индексов, по исходным и расчетным данным задачи 7 определите:

1) среднее изменение объема проданных товаров в мае но сравнению с апрелем;

2) абсолютное изменение товарооборота в результате среднего изменения физического объема продаж;

3) общий индекс товарооборота в фактических ценах;

4) общий абсолютный прирост денежной выручки от продаж. Покажите взаимосвязь между вычисленными индексами.

Задача 13. Имеются следующие данные о расходе материала «К» на изготовление разнородной продукции:

Определите:

1) среднее изменение удельного расхода материала «К» на всю продукцию в отчетном периоде по сравнению с базисным;

2) общую экономию (перерасход) материала «К» на весь выпуск продукции отчетного периода в результате среднего изменения удельного расхода.

При условии, что в базисном периоде общий расход материала «К» на весь выпуск продукции составил 1000 кв. м, вычислите:

1) общий индекс расхода материала;

2) абсолютное изменение общего расхода материала в отчетном периоде по сравнению с базисным:

3) общий индекс физического объема продукции:

4) абсолютное изменение общего расхода материала за счет среднего изменения объема продукции в натуральном выражении.

Задача 14. Выпуск продукции на предприятии на протяжении рассматриваемых периодов возрос на 10%, при этом численность рабочих снизилась на 20%.

Определите, как возрос выпуск продукции в относительном и абсолютном выражении за счет роста производительности труда выработки ), если в базисном периоде предприятием было выпущено 12 тыс. изделий.

Вычислите абсолютное изменение объема производства за счет вменения численности рабочих.

Задача 15. За счет среднего увеличения цен выручка от реализации продукции возросла на 12%. Определите доли среднего изменения цен и физического объема продаж в общем приросте товарооборота, если товарооборот в ответном периоде возрос на 20%.

Задача 16. Имеются следующие данные о продаже стройматериалов по кварталам:

Вычислите:

1) индивидуальные индексы цен: цепные и базисные;

2) индивидуальные индексы объема продаж по каждому виду продукции: цепные и базисные;

3) общие индексы цен: цепные и базисные;

4) общие индексы физического объема продаж: цепные и базисное.

Покажите взаимосвязь между цепными и базисными индексами.

Задача 17. Имеются следующие данные о выпуске однородной продукции по предприятиям АО:

Определите по трем вида продукции:

1) общие индексы средней себестоимости продукции переменного и постоянного состава, индекс структурных сдвигов;

2) абсолютный прирост средней себестоимости за счет изменения себестоимости и структуры произведенной продукции.

Задача 18. Имеются данные о производстве одноименной продукции и ее себестоимости по двум малым предприятиям:

Определите по двум предприятиям:

1) индекс средней себестоимости продукции;

2) среднее изменение себестоимости продукции;

3) влияние на динамику средней себестоимости изменения в структуре объема произведенной продукции.

Задача 19. Имеются данные по двум отраслям экономики:

Определите индексы производительности труда: а) по каждой отрасли экономики; б) по двум отраслям вместе индексы переменного, постоянного состава и структурных сдвигов. Сделайте выводы.

Задача 20. Имеются данные о заработной плате работников по трем районам:

Определите по трем районам вместе:

1) индексы средней заработной платы переменного и фиксированного состава:

2) влияние на динамику средней заработной платы изменения структуры среднесписочной численности работников.

Задача 21. Имеются данные о вкладах населения в Сбербанке:

Определите общие индексы среднего размера вклада для всего населения (переменного, постоянного состава, структурных сдвигов).