Глава 5. Ряды динамики
Методические указания и решение типовых задач
Ряды динамики характеризуют изменение уровней показателя во времени. Ряды динамики подразделяют на ряды динамики абсолютных, средних и относительных величин. По признаку времени рады динамики абсолютных величин подразделяют на моментные и интервальные ряды динамики. Каждый ряд динамики состоит из двух элементов; 1) периодов или моментов времени; 2) уровней.
Уровни ряда динамики должны быть сопоставимы по методологии расчета показателя, территории, продолжительности периодов, охватываемого объекта, единицам измерения и другим признакам. В тех случаях, когда вначале имеются уровни ряда, исчисляемые по одной методологии или в одних границах, а затем уровни, исчисляемые по другой методологии или в других границах, уровни рада динамики оказываются несопоставимы между собой. Чтобы привести уровни в ряду динамики к сопоставимому, годному для анализа виду, необходимо применить прием, который называют смыканием радов динамики.
Пример 1. Имеются данные о поголовье крупного рогатого скота в районе:
Таблица 5.1
Динамика поголовья крупного рогатого скота в районе за 1991—1997 гг.
(тыс. голов)
Привести ряды динамики к сопоставимому виду.
Решение. Определим коэффициент пересчета уровней в 1993 г., в котором произошло изменение границ района: К = 70 / 50 = 1,4. Умножая на этот коэффициент уровни ряда динамики в прежних границах, приводим их к сопоставимым уровням в новых границах.
В 1991г……………………………………………….……45 1,4 = 63.01 тыс голов
В 1992г…………………………………………………….48 1,4 = 67.2 тыс голов
Теперь представим полученные данные о поголовье крупного рогатого скота в виде ряда динамики ( см. табл. 5.1).
1991 г. 1992 г. 1993 г. 1994 г. 1995 г. 1996 г. 1997 г,
63.0 67.2 70.0 71.3 73.2 74.1 75.0
Данные сопоставимого ряда характеризуют рост поголовья крупного рогатого скота в районе за 1991—1997 гг. Они могут быть использованы для расчета аналитических показателей ряда динамики.
Пример 2. Имеются данные о среднемесячной заработной плате на одного работника и стоимости набора из 25 основных продуктов питания в расчете на одного человека в РФ за полугодие:
Привести ряды динамики к одному основанию и сделать краткие выводы.
Решение. Для сравнения уровней рядов динамики необходимо уровни рядов привести к одному основанию, т.е. исчислить базисные темпы роста.
Для среднемесячной заработной платы:
Для стоимости набора продуктов питания:
Представим полученные показатели в табл. 5.2.
Данные табл. 5.2 показывают, что начисленная среднемесячная заработная плата на одною работника неуклонно растет. Прирост в июне к январю составил 27,9%. Стоимость набора из 25 основных продуктов питания тоже растет, но более медленными темпами.
Таблица 5.2
Базисные темпы роста за 1 полугодие среднемесячной заработной платы на одного работника и стоимость набора из 25 основных продуктов
питания в РФ, %
В статистике для сравнения базисных темпов роста изучаемых радов динамики за анализируемый период принято исчислять коэффициент опережения (Коп ) по формуле
где
— базисный темп первого ряда;
—
базисный темп второго ряда.
Так, для июня коэффициент
опережения равен
Полученные показатели представлены в табл. 5.2.
Коэффициенты опережения свидетельствуют о более высоких темпах роста заработной платы по сравнению с ростом цен на продукты питания.
Пример 3. Имеются следующие данные о динамике производства продукции предприятием за 1993—1997 гг., млн. руб.:
1993 г. 1994 г. 1995 г. 1996 г. 1997 г.
2040 2130 2220 2265 2360
Определить среднегодовое производство продукции за 1993—1997 гг.
Решение. Для интервального
ряда динамики средний уровень
исчисляется по формуле средней
арифметической простой:
где у — уровни ряда.
Пример 4. Имеются следующие данные об остатках сырья и материалов на складе предприятия, млн руб.: на 1/1 — 400; на 1/II — 455; на 1/III - 465; на 1/IV — 460.
Определить среднемесячный остаток сырья и материалов на складе предприятия за I квартал.
Решение. По условию задачи имеем моментный ряд динамики с равными интервалами, поэтому средний уровень ряда будет исчислен по формуле средней хронологической:
Пример 5. Имеются следующие данные о товарных запасах розничного торгового предприятия, млн. руб. на 1/1 1997 г. — 61,1; на 1/V 1997 г.— 57,5; на 1/ VIII 1997 г. — 51,3; на 1/I 1998 г. — 74,7.
Исчислить среднегодовой товарный запас розничного торгового предприятия за 1997 г.
Решение. Средний уровень товарных запасов за год для моментного ряда динамики с неравными интервалами исчислим по формуле
где
— средние уровни в интервале между
датами;
t — интервал времени (число месяцев между моментами времени).
Так, средний уровень товарных запасов за периоды:
Число месяцев (t) между моментами времени равно 4, 3, 5. Следовательно, средний уровень товарных запасов за год составит
Пример 6. Имеются следующие данные о производстве продукции предприятия за 1992—1997 гг. (в сопоставимых ценах),млн. руб.:
1992 г 1993 г. 1994 г. 1995 г. 1996 г. 1997 г.
80 84 89 95 101 108
Определить аналитические показатели ряда динамики производства продукции предприятия за 1992—1997 гг.:
1) абсолютные приросты;
2) темпы роста;
3) темпы прироста;
4) абсолютное значение одного процента прироста, а также средние обобщающие показатели ряда динамики.
Решение. В зависимости
от задачи исследования абсолютные
Приросты
,
темпы роста
и темпы прироста
могут быть исчислены
с использованием переменной базы
сравнения (цепные) и постоянной базы
сравнения (базисные).
1.
Абсолютный прирост
— это разность между последующим
уровнем ряда и предыдущим (или базисным).
Так, в 1993 г. прирост продукции был
равен: цепной
Аналогично исчисляются абсолютные приросты за любой год.
Абсолютный прирост
базисный —
В 1993 г. — 84 - 80 = 4 млн. руб.; в 1994
г.— 89 - 80 = 9 млн. руб. и т.д. (табл.
5.3, гр. 2 и 3).
Таблица 5.3
Динамика производства продукции предприятия за 1992—1997 тт.
Средний абсолютный прирост исчисляется двумя способами:
а) как средняя арифметическая простая годовых (цепных) приростов
б) как отношение базисного прироста к числу периодов
2. Темп роста (Тр)
— отношение уровней ряда динамики,
которое выражается в коэффициентах
и процентах. Цепной теми роста исчисляют
отношением последующего уровня к
предыдущему:
;
базисный — отношением каждого
последующего уровня к одному уровню,
принятому за базу сравнения:
Цепные темпы роста составили:
в 1993 г. по сравнению с 1992 г. Т 93/92 = 84 / 80 =1,050 (105,0%); в 1994 г. по сравнению с 1993г. Г 94 / 93 = 89 / 84 =1,060 (106,0%) и т.д.
Базисные темпы за эти же периоды равны:
Т 93/92 = 84 / 80 = 1,050 (105,0%); Т9 4 / 9 2 = 89 / 80 =1,112 (111,2%) и т.д. (см. табл. 5.3, гр. 4 и 5).
Между цепными и базисными темпами роста имеется взаимосвязь: произведение соответствующих цепных темпов роста равно базисному. Зная базисные темпы, можно исчислить цепные делением каждого последующего базисного темпам роста на каждый предыдущий.
3
.
Темп прироста (ТПр)
определяют двумя способами:
а
)
как отношение абсолютного прироста
к предыдущему уровню
цепной, или к базисному уровню базисный.
б) как разность между темпами роста и единицей, если темпы роста выражены в коэффициентах: Тпр = Тр - 1; или как разность между темпами роста и 100%, если темпы роста выражены в процентах: Тпр = Тр - 100%.
4. Абсолютное значение одного процента прироста (А1%) равно отношению абсолютного прироста цепного к темпу прироста цепному.
(см. табл. 5.3, гр. 8).
Этот показатель может быть исчислен иначе: как одна сотая часть предыдущего уровня. Например, в 1993 г. по сравнению с 1992 г. абсолютное содержание 1% прироста составило:
Расчет среднего абсолютного значения одного процента прироста за несколько лет производится по формуле
Пример 7. По исходным данным примера 6 исчислить среднегодовой темп роста и прироста производства продукции за исследуемый период.
Решение. Среднегодовой темп роста исчисляется по формуле средней геометрической из цепных коэффициентов роста:
где n— число коэффициентов; П — знак произведения.
Среднегодовой темп роста может быть исчислен из отношения конечного (уn) и начального (у0) уровней по формуле
Среднегодовой темп роста за 1993—1997 гг. равен 106,2%.
Среднегодовой темп прироста исчисляется следующим образом:
Таким образом, производство продукции в период 1993—1997 гг. увеличивалось за год в среднем на 6,2%.
Пример 8. Имеются данные о потреблении овощей по области за 1989—1997 гг. на одного члена домохозяйства в месяц, кг.
1989 г. 1990 г. 1991 г. 1992 г. 1993 г. 1994 г. 1995 г. 1996 г. 1997 г.
10.0 10.7 12.0 10.3 12.9 16.3 15.6 17.8 18.0
Выявить основную тенденцию потребления овощей за 1989 — 1997 гг.:
1) методом скользящей средней;
2) методом аналитического выравнивания.
Решение: 1. Исчислим трехлетние скользящие средние уровни ряда за 1989—1991 гг.:
за 1990—1992 гг.:
Результаты расчета трехлетней скользящей средней представлены в табл. 5.4, гр. 3.
Таблица 5.4
Динамика потребления овощей на одного члена домохозяйства за месяц
по области за 1989—1997 гг., кг
В результате обработки ряда динамики методом скользящей средней проявилась тенденция к росту потребления овощей.
2. Метод аналитического выравнивания ряда динамики по прямой.
Уравнение прямой имеет вид
где
— теоретические уровни;
и
— параметры прямой;
t — показатель времени (дни, месяцы, годы и т.д.).
Для нахождения параметров а0 и ах необходимо решить систему нормальных уравнений
где
— фактические уровни ряда динамики;
n
— число уровней.
Для упрощения расчетов обозначим время так, чтобы начало его отсчета приходилось на середину рассматриваемого периода (см. табл. 5.5, гр. 2).
Таблица 5.5
Расчетные
данные для определения параметров
системы нормальных
уравнений п
выровненных теоретических значений
Так как
,
то система нормальных уравнений примет
вид
Отсюда
Уравнение прямой будет иметь вид
Подставив в это уравнение
значение Г (табл. 5.5, гр. 2), получим
выровненные теоретические значения
(табл. 5.5, гр. 5).
Параметры и можно исчислить иначе с помощью определителей:
Приведенные
формулы показывают, что для нахождения
параметров
и
необходимо получить следующие
значения:
Обозначив годы (t) порядковыми номерами, определим эти величины и представим их значения в табл. 5.6.
Таблица 5.6
Расчет параметров а0 и а1 с помощью определителей
По
данным табл. 5.6 определим параметры
и
Следовательно,
Далее расчет аналогичен
приведенному выше. Подставив в это
уравнение значения t (табл. 5.6, гр. 2),
получим выровненные теоретические
значения
,
(табл. 5.6, гр. 5).
После решения уравнения наносим на график фактические уровни и исчисленную прямую линию, характеризующую тенденцию динамического ряда.
Пример 9. Реализация картофеля на рынках города за три года характеризуется следующими данными, т:
Определить индексы сезонности.
Решение. Для исчисления индексов сезонности применяют различные методы, выбор которых зависит от характера общей тенденции ряда динамики. Если ряд динамики не содержит ярко выраженной тенденции развития, то индексы сезонности исчисляют непосредственно по эмпирическим данным без их предварительного выравнивания. Для расчета индексов сезонности необходимо иметь помесячные данные минимум за три года.
Для каждого месяца
рассчитывается средний уровень
,
затем ; исчисляется среднемесячный
уровень для всего анализируемого ряда
.
По этим данным определяется индекс
сезонности
как процентное
отношение средних для каждого месяца
к общему среднемесячному уровню ряда:
где
— среднемесячные уровни ряда (по
одноименным месяцам);
—
общий средний уровень ряда (постоянная
средняя).
Применяя формулу средней арифметической простой определим среднемесячные уровни за три года:
январь:
февраль:
Исчислим общую (постоянную) среднюю:
или
Индексы сезонности имеют следующие значения:
Индексы сезонности показывают, что наименьший спрос приходится на январь — февраль, а наибольший — на сентябрь — октябрь. Для наглядности можно построить график сезонной волны реализации картофеля (рис. 1).
Таблица 5.7
Реализация картофеля на рынках города за три года
Месяцы
Рис. 1. Сезонная волна реализации картофеля (изменение индексов сезонности
в среднем за три года)
Пример 10. Имеются следующие данные о внутригодовой динамике заготовок сельскохозяйственной продукции области по кварталам за три года:
Для анализа внутригодовой динамики заготовок сельскохозяйственной продукции определить индексы сезонности. Решение. Вычисление индексов сезонности в рядах динамики с тенденцией развития (к переменной средней).
Когда уровни ряда динамики проявляют тенденцию к росту или снижению, то отклонения от постоянного среднего уровня могут исказить сезонные колебания. В таких случаях фактические данные сопоставляются с выровненными.
Для расчета индекса сезонности в таких рядах динамики применяется формула
где
— эмпирические уровни ряда;
— теоретические уровни ряда;
n
— число лет.
Определим теоретические значения по уравнению
Для расчета параметров и составим табл. 5.8.
Исчислим параметры:
Следовательно, уравнение прямой примет вид
Подставив в полученное уравнение значения t (квартальные), получим следующие выровненные значения ряда.
Для первого года:
I
квартал:
= 175 + 2,26 • (-5,5) = 175 - 12,43 = 162,6;
II квартал: = 175 + 2,26 • (-4,5) = 175 - 10,17 = 164,8;
III квартал: =175 + 2,26 • (-3,5) = 175 - 7,91 = 167,1 и т.д.
(табл. 5.8, гр. 5).
Далее необходимо найти для каждого квартала процентные отношения эмпирических
уровней ряда
к теоретическим уровням
Тогда для первого года:
I квартал:
II квартал:
Для третьего года:
IV квартал:
П
осле
этого нужно просуммировать полученные
процентные отношения за три года
по одноименным кварталам
(см. табл. 5.9, гр. 10):
I квартал: 99,6 + 92,7 + 87,4 = 279,7;
II квартал: 103,2 + 111,0 + 123,0 = 337,2 и т.д.
Затем следует исчислить индексы сезонности (см. табл.5.9, гр. 11).
Таблица 5.9
Динамика заготовок сельскохозяйственной продукции области
Индексы сезонности характеризуют размеры заготовок сельскохозяйственной продукции в зависимости от времени года. Наибольший удельный вес заготовок сельскохозяйственной продукции приходится на второй квартал. Чтобы наглядно представить сезонную волну, индексы сезонности наносят на график.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. Имеются данные о розничном товарообороте района, млн руб.:
Приведите ряды динамики к сопоставимому виду (сомкните ряды).
Задача 2. Имеются данные о динамике кредитов коммерческих банков по видам (по состоянию на 1 января), млн руб.:
Приведите ряды динамики к одному основанию.
Определите коэффициенты опережения темпов роста краткосрочных кредитов по сравнению с долгосрочными кредитами. Задача 3. Имеются данные о производстве электроэнергии в РФ за первое полугодие 1996 г., млрд кВт ч:
Определите среднемесячное производство электроэнергии в РФ за первый, второй кварталы и за полугодие в целом. Задача 4. Имеются следующие данные об остатках вкладов в Сбербанке РФ во втором полугодии 1996 Г. на первое число каждого месяца, млрд руб.:
Определите средние остатки вкладов в Сбербанке РФ: а) за третий квартал, б) за четвертый квартал, в) за второе полугодие в целом.
Задача 5. Имеются следующие данные о товарных запасах в розничной торговле за первый квартал, тыс. руб.:
Определите средние товарные запасы за первый квартал по каждой товарной группе и в целом по двум группам. Задача б. Имеются следующие данные о валовом сборе зерна в РФ (в хозяйствах всех категорий), млн т:
1992 г. 1993 г. 1994 г . 1995 г. 1996 г.
107 99 81 63 69
Определите:
1) среднегодовое производство валового сбора зерна;
2) цепные и базисные абсолютные приросты;
3) цепные и базисные темпы роста;
4) абсолютное значение одного процента прироста;
5) средний абсолютный прирост;
6) среднее значение одного процента прироста;
7) среднегодовые темпы роста и прироста.
Полученные данные представьте в таблице и проанализируйте их.
Задача 7. Известны темпы прироста выпуска продукции предприятия в 1992—1997 гг., % по отношению к предыдущему году:
Задача 7. Известны темпы прироста выпуска продукции предприятия в 1992—1997 гг., % по отношению к предыдущему году:
1992 г. 1993 г. 1994 г. 1995 г. 1996 г. 1997 г.
3 1 -2 -5 2 3
Определите:
1) базисные темпы роста (1991 г. — 100%) выпуска продукции предприятия;
2) среднегодовой темп роста и прироста.
Задача 8. Добыча угля в Восточносибирском районе характеризуется следующими данными, млн. т:
1991 г 1992 г. 1993 г. 1994 г 1995 г.
103 97 85 76 72
Для анализа динамики добычи угля исчислите:
1) среднегодовую добычу угля;
2) абсолютные и относительные изменения добычи угля за каждый год (цепные показатели) и к 1991 г. (базисные показатели), абсолютное содержание одного процента прироста; полученные показатели представьте в таблице;
3) среднеквартальный темп роста и прироста (снижения);
4) ожидаемый уровень добычи угля в 1996 и 1997 гг. при условии, что среднегодовой темп его добычи в предстоящий период сохранится.
Постройте график динамики добычи угля. Сделайте выводы.
Задача 9. Имеются следующие данные о динамике внешней торговли России (в фактических ценах), % по отношению к предыдущему году:
Известно, что в 1990 г.объем экспорта составил 71 млрд. долл., в 1994 г. — 48 млрд. долл.; импорта — соответственно 82 и 28 млрд. долл.
Исчислите по экспорту и импорту:
1) фактические уровни за исследуемые годы;
2) базисные темпы;
3) среднегодовые темпы;
4) коэффициент опережения экспорта над импортом. Сделайте выводы.
Задача 10. Отправление грузов железнодорожным транспортом общего пользования в РФ за три года характеризуется следующими данными, млн. т:
Определите индексы сезонности и постройте график сезонной волны.
Задача 11. Имеются следующие данные о внутригодовой динамике ввода в действие жилых домов предприятиями всех форм собственности по кварталам в 1995—1997 гг., млн. кв. м общей жилой площади:
Определите индексы сезонности:
1) методом постоянной средней (средней арифметической простой);
2) методом аналитического выравнивания. Постройте график сезонной волны.
Задача 12. Имеются следующие данные о движении денежных средств на счете вкладчика в Сбербанке в IV квартале, руб.:
Остаток денежных средств на 1 октября..………………….……………………..…..12 600
10 октября поступило………………………………………………...……………..….….500
10 ноября поступило…………………………………………………………………..…..500
21 ноября выдано……………………………………………………………………..……600
10 декабря поступило……………………………………………………………….……1500
25 декабря выдано………………………………………………………………….….….1000
Определите средний остаток вклада: а) за октябрь, б) за ноябрь, в) за декабрь, г) за четвертый квартал.
Задача 13. Имеются следующие данные об основных показателях культуры РФ:
Определите за 1991—1996 гг.:
1) среднегодовое число профессиональных театров;
2) среднегодовое число посещений театров;
3) среднегодовые темпы роста и прироста указанных показателей.
Задача 14. Имеются следующие данные по Российской Федерации за 1991—1996 гг., % по отношению к предыдущему году:
Для изучения динамики приведенных показателей определите базисные темпы роста (к 1990 г.) и среднегодовые темпы роста и прироста.
Постройте график динамики базисных темпов исчисленных показателей.
Задача 15. Внешнеторговый оборот с зарубежными странами (без стран СНГ) Российской Федерации в 1991—1996 гг. характеризуется следующими данными, млрд. долл. США:
Для анализа динамики внешнеторгового оборота исчислите:
1) среднегодовой оборот:
а) общий , б) по экспорту, в) по импорту;
2) ежегодные и базисные (к 1991 г.) темпы роста и прироста; полученные данные представьте в таблице;
3) среднегодовой темп роста и прироста;
4) коэффициенты опережения экспорта над импортом.