Глава 16. Статистика страхования

Методические указания и решение типовых задач

Страховой рынок подразделяется на отрасли имущественного, личного страхования, страхования ответственности и социального страхования.

Объектами имущественного страхования являются основные и оборотные фонды предприятий, организаций, домашнее имущество граждан. К основным абсолютным показателям этой отрасли относятся: страховое поле (N_max) число застрахованных объектов (заключенных договоров) (N), число страховых случаев (n_с), число пострадавших объектов (n_п), страховая сумма застрахованного имущества (S), страховая сумма пострадавших объектов (S_П), сумма поступивших платежей (V), сумма выплат страхового возмещения (W). На основе абсолютных показателей определяются различные относительные и средине показатели: частота страховых случаев, доля пострадавших объектов, опустошительность страховых случаев, полнота уничтожения, коэффициент выплат, убыточность страховой суммы, средние страховые суммы пострадавших и застрахованных объектов, средняя сумма страхового возмещения, средний коэффициент тяжести страховых событий и т.д. Особое внимание уделяется расчету страховых тарифов: нетто-ставки и брутто-ставки, динамике показателей работы страховых организаций.

Пример 1. Имеются данные страховых организаций района о добровольном страховании имущества граждан:

Страховое поле (N_max )…………………………………………………………………….256250

Число заключенных договоров (число застрахованных объектов)………………….…102 500

Сумма застрахованного имущества (S). тыс, руб………………………………………..198 350

Поступило страховых взносов (V). тыс. руб………………………………………………..2800

Страховые выплаты (W). тыс. руб………….. ……………………………………………...1680

Число пострадавших объектов (n_п )…………………………………………………………2050

Определить показатели, характеризующие деятельность страховых организаций.

Решение. 1. Степень охвата страхового поля

d = N / N_max = 102 500 / 256 250 = 0,4, или 40%.

2. Частота страховых случаев

d_c = n_п / N = 2050 / 102 500 = 0,02, или 2%.

3. Средняя страховая сумма

S = S / N = 198 350 / 102 500 = 1,9351 тыс. руб.

4 . Средняя сумма страхового взноса V = V / N = 2800 / 102 500 = 27,317.

5. Средняя сумма страховых выплат

W = W / S = 1680 / 2050 = 819,512 руб.

6. Коэффициент выплат

K_B = W / V = 1680 / 2800 = 0,60, или 60%.

7. Убыточность страховой суммы

q = W / S= 1680 / 198 350 = 0,0084648 ≈ 0,0085.

8. Коэффициент тяжести страховых событий

К _т = W / S = 819,512 / 1935,1 = 0,4235, или 42,35%.

9. Коэффициент финансовой устойчивости (с доверительной вероятностью 0.954 при которой t = 2)

Чем меньше данный коэффициент, тем устойчивее финансовое состояние.

Пример 2. Результаты работы страховых организаций в I полугодии характеризуются следующими данными:

№ организации	Страховой взнос, млн. руб V	Коэффициент выплат KB	Выплаты W = KBV
1	400	0.5	200
2	500	0.6	300
3	700	0.2	140
Итого	1600	—	640

Определить:

1) средний коэффициент выплат;

2) абсолютную сумму дохода страховых операций;

3) относительную доходность.

Решение. 1. Коэффициент выплат рассчитывается по формуле К_в = W / V.

Средний коэффициент выплат составит

2. Абсолютная сумма дохода определяется разностью взносов и выплат

Δ = 1600 - 640 = 960 млн. руб.

3. Относительная доходность (процент доходности) равен

Эту величину можно определить иначе:

К_д = 1 - К_в = 1 – 0.4 = 0.60, или 60%

Пример 3. Имеются данные страховых компаний о добровольном страховании имущества, тыс. руб.:

Район	Базисный период			Отчетный период
	Страхо­вая сумма S0	Страховые выплаты W0	Коэффициент убыточности q0	Страховая сумма S1	Страховые выплаты W1	Коэффициент убыточности q1
1	40000	112	0.0028	56 000	140	0.0025
2	80000	128	0.0016	84 000	168	0.0020
Итого	120000	240	—	340 000	308	—

Определить:

1) индивидуальные индексы убыточности по каждому району;

2) по двум районам индексы средней убыточности:

а) переменного состава,

б) постоянного состава,

в) структурных сдвигов. Решение. 1. i_q = q₁ / q₀

По району 1: iq₁ =0,8929, или 89,3%, т.е. убыточность снизилась на 10,7%,

По району 2 : iq₂ = 1,25 — убыточность возросла на 25%.

2. а) Индекс средней убыточности переменного состава равен

т.е. средняя убыточность возросла на 10% за счет влияния двух факторов: изменения коэффициента убыточности и размера страховых сумм.

Этот индекс можно представить иначе, заменив сумму выплат произведением страховой суммы на коэффициент выплат: W = Sq.

Тогда индекс средней убыточности переменного состава примет вид

б) Индекс средней убыточности постоянного состава равен

т.е. средняя убыточность возросла на 5,81% за счет увеличения страховых выплат (убыточности).

в) Влияние размера страховых сумм на динамику средней убыточности изучается с помощью индекса структурных сдвигов:

Средняя убыточность дополнительно повысилась на 4% за счет роста страховой суммы в первом районе.

Индекс структурных сдвигов можно определить, используя взаимосвязь индексов:

Пример 4. Динамика убыточности по страхованию домашнего имущества в регионе характеризуется следующими показателями:

Год	1992	1993	1994	1995	1996	1997
Убыточность со 100 руб страховой суммы, коп	8	7	9	8	10	12

Определить:

1) среднегодовой уровень убыточности;

2) нетто-ставку (с доверительной вероятностью 0,954);

3) брутто-ставку, если известно, что нагрузка по данному виду страхования составляет 20%.

Решение. 1. Среднегодовой уровень убыточности равен

q = Ʃ q/n = 54 / 6 = 9 коп.

2. Нетто-ставка исчисляется по формуле

U' = q + tσ,

где σ — среднее квадратическое отклонение убыточности:

следовательно,

U' = 9 + 2 · 1,789 = 9 + 3,578 = 12,578 ≈ 12,58 коп.

3. Брутто-ставка определяется по формуле

где ƒ — доля нагрузки к нетто-ставке:

U = 12,58 / (1 - 0,2) = 12,58 / 0,8 = 15,725 коп.

Важнейшей задачей статистики личного страхования является расчет единовременных тарифных ставок на дожитие, на случай смерти с различным сроком договора и выдачи платежей.

Единовременная нетто-ставка на дожитие определяется по формуле

где tE_x — единовременная нетто-ставка на дожитие для лица в возрасте x лет на срок t лет;

l_{x + t} — число лиц, доживших до срока окончания договора;

l_x — число лиц, доживших до возраста страхования и заключивших договоры;

V — дисконтный множитель; S — страховая сумма.

Единовременная ставка на случай смерти — временная, т.е. на определенный срок.

Она равна

где nА_x — единовременная нетто-ставка на случай смерти для лица в возрасте х лет сроком на n лет;

l_x — число застрахованных лиц;

d_x , d_{x + 1} — число умирающих в течение периода страхования. Расчет тарифных нетто-ставок производится с использованием таблиц смертности и средней продолжительности жизни. Для практических расчетов разработаны специальные таблицы коммутационных чисел, в которых содержатся показатели, взятые из таблиц смертности, дисконтирующие множители и расчетные показатели (коммутационные числа). Таблицы составлены в двух видах: на дожитие и на случай смерти Для удобства вычислений они могут быть объединены в одну (см. табл. 16.1).

Пример 5. Определить для лица в возрасте 42 лет единовременную нетто-ставку (со 100 руб. страховой суммы) на дожитие сроком на 3 года: а) используя дисконтный множитель по ставке 3% (по формуле tE_x) , б) по данным коммутационных чисел (см. табл. 16.1).

Решение.

Незначительные расхождения объясняются округлением коммутационных чисел.

Пример 6. Определить единовременную нетто-ставку на случай смерти для лица в возрасте 40 лет сроком на 2 года, используя данные табл. 16.1.

Решение. При использовании коммутационных чисел из табл.16.1 нетто-ставка будет равна

Пример 7. В отчетном периоде среднегодовая численность работающих на предприятии составила 200 человек, из которых производственные травмы получили 10 человек с утратой трудоспособности на 120 человеко-дней.

Определить показатели уровня травматизма:

1) частоту травматизма;

2) тяжесть травматизма;

3) коэффициент нетрудоспособности (количество человеко-дней нетрудоспособности на одного работающего).

Решение. 1.

т.е. на 100 работающих 5 человек получили травмы.

Таблица 16.1

Извлечение из таблиц коммутационных чисел

Возраст	Число доживших до возраста 𝑥 лет t𝑥	Коммутационные числа
		На дожитие			На случай смерти
		Д𝑥=l𝑥 V n	N𝑥=Ʃ Д𝑥	C𝑥 =dx V n+1		Мx = ƩСx
40	92 246	28 283	589 505	111		11 103
41	91 872	27 341	561 222	115		10 992
42	91 473	26 436	533 881	120		10 877
43	91 046	25 538	507 945	125		10 757
44	90 588	24 676	481 907	130		10 632
45 …	90 096 ……..	23 825 ………	433 410 ……….	136 ….		10 502 ……..
50	87 064	19 859	346 215	163		9 770

Примечания. 1. Дискретный множитель исчислен по ставке 3% годовых.

2. Сумма коммутационных чисел накоплена постепенно с конца таблицы .

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Имеются данные страховых организаций по добровольному имущественному страхованию за отчетный период, тыс. руб.:

Страховое поле………………………………………………………………….1920000

Число заключенных договоров………………………………………………….768000

Страховая сумма застрахованного имущества………………………………...1128700

Страховые взносы…………………………………………………………………..3400

Страховые выплаты (сумма ущерба)………………………………………………..940

Число страховых случаев…………………………………………………………...1535

Определите:

1) степень охвата страхового поля;

2) частоту страховых случаев;

3) коэффициент выплат;

4) среднюю страховую сумму застрахованного имущества;

5) среднюю сумму страхового взноса;

6) среднюю сумму страховых выплат;

7) убыточность страховой суммы;

8) коэффициент тяжести страховых событий;

9) с вероятностью 0,954 коэффициент финансовой устойчивости.

Задача 2. Имеются данные страховой компании области о добровольном страховании имущества субъектов хозяйствования, тыс. руб.:

Показатель	Базисный период	Отчетный период
Количество заключенных договоров	225	250
Страховая сумма	87750	100000
Поступление страховых взносов	153	950
Страховые выплаты	153	174
Число страховых выплат	27	30

Определите для каждого периода:

1) средние размеры страховой суммы, страхового взноса, суммы страховых выплат;

2) коэффициент выплат;

3) убыточность страховой суммы;

4) коэффициент тяжести страховых событий.

Расчетные показатели представьте в таблице, исчислите темны динамики и сделайте выводы.

Задача 3. Имеются данные о деятельности страховой организации:

Страховые выплаты, тыс руб.	Число страховых случаев. % от общего числа
1—2	10
2—3	30
3—4	40
4—5	20

Известно, что средняя страховая сумма составила 12,8 тыс. руб.

Определите:

1) средний размер страховых выплат;

2) коэффициент тяжести страховых событий.

Задача 4. Показатели работы страховых организаций района в отчетном году характеризуются следующими данными, тыс. руб.:

Отрасль страхования	Страховые взносы	Страховые выплаты	Страховая сумма	Число договоров
Личное	3480	2164	223900	254700
Имущественное	6812	2322	236200	91085

Определите по каждой отрасли страхования и по двум отраслям вместе:

1) коэффициент выплат страхового возмещения;

2) размер страховых платежей на 100 руб. страховой суммы;

3) среднюю страховую сумму;

4) убыточность страховой суммы.

Задача 5.Работа страховых организаций области за отчетный период характеризуется следующими показателями, тыс. руб.:

Форма страхования	Поступление страховых взносов	Страховые выплаты	Страховая сумма	Количество заклю­ченных договоров
Добровольное Обязательное	30080 87700	18650 82000	625496 125160	328000 42000

Определите:

1) структуру показателей по формам страхования;

2) по каждой форме страхования и по двум формам вместе: а) коэффициент выплат страхового возмещения, б) убыточность страховой суммы, в) среднюю сумму застрахованного объекта.

Задача 6. Результаты работы страховых организаций района за отчетный период характеризуются следующими показателями:

№ органи­зации	Имущественное страхование		Личное страхование
	Страховые взносы, тыс руб.	Коэффициент выплат. %		Страховые выплаты, тыс руб.	Коэффициент выплат. %
1	7600	18		4480	56
2	8400	30		14000	70

Определите средние коэффициенты выплат и показатели относительной доходности по каждой отрасли страхования и по двум отраслям вместе.

Задача 7. Убыточность страховых организаций по добровольному страхованию имущества характеризуется следующими показателями:

№ органи­зации	Базисный	период	Отчетный период
	Страховая	Коэффициент	Страховые	Коэффициент
	сумма, тыс. руб.	убыточности	выплаты, тыс руб.	убыточности
1	60	0.20	16.8	0.24
2	120	0.17	42.0	0.28

Определите средний коэффициент убыточности страховой суммы по двум организациям за каждый период.

Сравните полученные показатели.

Задача 8. Убыточность страховых организаций по добровольному страхованию имущества характеризуется следующими показателями:

№ органи­зации	Страховая суммы. тыс. руб.	Страховые вы­платы. тыс. руб	Коэффициент убыточности	Удельный вес страховой суммы
А	1	2	3	4
1	70	11.2	0.16	35
2	130	26.0	0.20	65

Определите средний коэффициент убыточности по двум страховым организациям, используя показатели: а) гр. 1 и 2, б) гр. 1 и 3, в) гр. 2 и 3, г) гр. 3 и 4.

Задача 9. Убыточность по имущественному страхованию характеризуется следующими данными:

Год	1992	1993	1994	1995	1996	1997
Убыточность со 100 руб страховой суммы, коп.	9	11	11	12	14	15

Определите:

1) среднегодовой уровень убыточности страховой суммы;

2) нетто-ставку с доверительной вероятностью 0,954;

3) брутто-ставку, при условии, что нагрузка к нетто-ставке составляет 20%.

Задача 10. Имеются данные по страхованию домашнего имущества, тыс. руб.:

Год	1993	1994	1995	1996	1997
Страховая сумма	12000	12400	13000	14500	15000
Страховые выплаты	87.6	93	106.6	113 4	129

Определите:

1) среднюю убыточность страховой суммы за 5 лет;

2) с вероятностью 0,954 будущую нетто-ставку;

3) брутто-ставку, при условии, что нагрузка по данному виду страхования составляет 15%.

Задача 11. Имеются данные страховых компаний о добровольном страховании имущества:

	Базисный период		Отчетный период
Район	Страховая сум­ма млн. руб.	Страховые вы­платы тыс. руб.	Страховая сумма млн. руб. ­	Страховые выплаты тыс. руб.­
I	90	270	100	250
II	65	130	80	176

Определите:

1) индивидуальные индексы убыточности по каждому району;

2) по двум районам индексы средней убыточности: а) переменною состава, б) постоянною состава, в) структурных сдвигов;

3) абсолютный прирост (снижение) средней убыточности на 100 руб. страховой суммы за счет изменения уровней убыточности по каждому району и изменения страховых сумм.

Задача 12. Имеются данные по добровольному имущественному страхованию субъектов хозяйствования:

Показатель	Базисный период	Отчетный период
Средняя страховая сумма, тыс. руб	400	420
Средний размер выплат, тыс руб.	8	8.82
Доля пострадавших объектов. %	4	3.2

Определите:

1) индекс тяжести страховых событий;

2) индекс убыточности страховой суммы.

Задача 13. В отчетном году доля пострадавших объектов снизилась на 2%, убыточность страховой суммы возросла на 1%. Определите индекс тяжести страховых событий.

Задача 14. За прошедший год доля пострадавших объектов в районе сократилась на 2%, тяжесть страховых событий возросла на 5%.

Как изменилась убыточность страховой суммы?

Задача 15. В отчетном периоде по сравнению с базисным средняя страховая сумма увеличилась на 12%, среднее страховое возмещение возросло на 5%, доля пострадавших объектов — на 2,4%.

Определите индекс убыточности страховой суммы.

Задача 16. Определите для лица в возрасте 40 лет единовременную нетто-ставку (со 100 руб. страховой суммы) на дожитие сроком на 5 лет, используя:

а) дисконтный множитель,

б) данные коммутационных чисел (см. табл. 16.1),

Задача 17. По данным коммутационных чисел выполните условие задачи 16 для лица, заключившего договор в возрасте 45 лет сроком на 5 лет.

Задача 18. По данным коммутационных чисел определите единовременную нетто-ставку на случай смерти для лица в возрасте 40 лет сроком на 5 лет.

Задача 19. Имеются следующие данные о травматизме по предприятию

№ иска	Число рабочих	Число травм (несчастных случаев)	Человеко-дни нетрудоспособности
1	350	14	126
2	400	12	132
3	120	6	108

Определите по каждому цеху и предприятию в целом в расчете на 100 человек:

1) частоту травматизма, тяжесть травматизма;

2) коэффициент нетрудоспособности на одного работника.

Задача 20. Имеются следующие данные по предприятиям отрасли:

№ пред-приятия	Среднесписочная численность работников, человек­	Число несчастных случаев	Коэффициент нетрудоспособности
1	400	16	0.56
2	600	12	0.36

Определите:

1) средний коэффициент нетрудоспособности по двум предприятиям;

2) по каждому предприятию и по двум вместе: а) частоту травматизма, б) тяжесть травматизма.