Тема 5. Геометричні характеристики плоских перерізів
Література: 1, гл.5; 2, гл.3;
3, гл.5, задача 1,4,5,8,9,11,13,20,25; [6, розд. 6]
В
теорії згину важливу роль відіграють
моменти інерції, тому слід розглянути
це питання попередньо в вигляді
самостійної теми. Перед вивченням цієї
теми корисно по підручнику теоретичної
механіки повторити матеріал про статичні
моменти і про знаходження центрів ваги
плоских фігур. При обчислюванні моментів
інерції треба пам’ятати, що вони являють
собою інтеграли типу
(осьовий, чи екваторіальний, момент
інерції відносно осі y)
чи типу
(відцентровий момент інерції відносно
осей z
і y).
Необхідно
запам’ятати, що теорема про перенесення
осей (
)
справедлива тільки в тому випадку, якщо
вісь y
проходить через центр ваги фігури. Якщо,
наприклад, відомо момент інерції
трикутника відносно центральної осі,
яка проходить через основу, то неможливо
за допомогою теореми про перенесення
осей зразу знайти момент інерції
трикутника відносно осі, яка проходить
через вершину паралельно основі, спочатку
необхідно за допомогою цієї теореми
знайти момент інерції відносно центральної
осі, а потім визначити момент інерції
відносно осі, яка проходить через
вершину. Формула переносу осей наочно
показує, що найменшим з моментів інерції
відносно декількох паралельних осей є
момент інерції відносно тієї осі, яка
проходить через центр ваги.
Найменшим з моментів інерції відносно центральних осей, нахилених під різними кутами, є момент інерції відносно одної з головних центральних осей. Відносно другої головної осі, перпендикулярної до першої, момент інерції має, навпаки, найбільше значення. Відцентровий момент інерції відносно головних осей дорівнює нулю; при цьому, зовсім не обов’язково, щоб головні осі проходили через центр ваги так, як через будь-яку точку, яка лежить в площині фігури, можна провести такі дві взаємоперпендикулярні вісі, відносно яких відцентровий момент інерції буде дорівнювати нулю. В теорії згину дуже важливу роль відіграють головні центральні осі, положення яких для несиметричних перерізів визначають так:
спочатку проводять довільні осі, розраховують статичні моменти перерізу відносно цих осей (розклавши попередньо складну фігуру на ряд простих фігур) і визначають положення центру ваги перерізу;
проводять через центр ваги всього перерізу осі, паралельні початково вибраним випадковим осям, і знаходять, за допомогою теореми про перенос осей, відцентрові та осьові моменти інерції перерізу відносно цих нових осей;
знаходять положення головних центральних осей u і v за формулою:
,
4) знаходять головні центральні моменти інерції.
Для
перевірки правильності обчислювання
і
можна використати рівність
і
.
Слід мати на увазі, що за допомогою цих рівнянь можна перевірити обчислення тільки по п.3 і п.4; дотримання ціх рівнянь не гарантує правдивості обчислень, зроблених в пунктах 1 і 2.
Якщо переріз складається з декількох прокатних профілів, то необхідно при обчислюванні користуватись даними таблиць сортамента. При визначенні відцентрового моменту інерції кутика (рівнополочного чи нерівнополочного) не слід ділити площу цього кутика на два прямокутники; спочатку можна знайти відцентровий момент інерції всього кутика відносно осей, які проходять через центр ваги паралельно полицям, при допомозі формули, в якій використані значення із таблиць сортамента:
,
де
і
– головні центральні моменти інерції,
значення яких дані в таблицях сортаменту.
Після цього треба застосувати формулу перенесення осей і знайти центробіжні моменти інерції кутика відносно центральних осей всього перерізу.
При
використанні формули повороту осей
треба обов’язково звернути увагу на
знак кута ;
якщо до суміщення осі
з віссю х
треба
повернути ось
за годинниковою стрілкою, то кут
слід вважати від’ємним.
Питання для самоперевірки.
За якими формулами знаходять координати центра ваги плоскої фігури?
За якими формулами знаходять осьові моменти інерції відносно осей, паралельних головним?
За якими формулами знаходять осьові моменти інерції відносно осей повернутих на деякий кут відносно головних?
Чому дорівнює сума осьових моментів інерції відносно двох взаємно перпендикулярних осей?
Які осі називаються головними?
Для яких фігур можна без обчислювання встановити положення головних центральних осей?
Відносно яких центральних осей основні моменти інерції мають найменше і найбільше значення?
Який з двох моментів інерції трикутника більший: відносно осі, яка проходить через основу, чи відносно осі, яка проходить через вершину паралельно основі?
Який з двох моментів інерції квадратного перерізу більший: відносно центральної осі, яка проходить паралельно стороні, чи відносно осі, яка проходить через діагональ?
Який з двох головних центральних моментів інерції напівкруглого перерізу більший: відносно осі, паралельної діаметру, яка обмежує переріз, чи відносно перпендикулярної осі?