Учебники / Ter-Krikorov_Kurs_matematicheskogo_analiza_2015

Чтобы обойти это затруднение, рассмотрим вместо поточечного предела функций 6е(х) при е -X +0 так называемый “слабый предел”.

Будем 6е(х) рассматривать как линейный функционал над линей­ ным пространством непрерывных в R3 функций, ставящий в соот­ ветствие каждой непрерывной в R3 функции (р(х) число

где 6 есть линейный функционал, ставящий в соответствие непрерыв­ ной функции число уДО).

Если для любой непрерывной функции выполнено равенство (4), то говорят, что линейный функционал S есть слабый предел линейных функционалов 5е при е -X +0.

При таком подходе по плотности легко восстановить массу точки.

ций. Удобно рассматривать некоторые специальные подпространства. Для простоты ограничимся функциями одной переменной.

Будем рассматривать комплекснозначные функции, определенные на R. Носителем функции ip(x) назовем замыкание множества тех х, где (р(х) ф 0. Если носитель функции есть ограниченное множество, то функция (р(х) называется финитной (она обращается в нуль вне некоторого отрезка). Пусть есть множество финитных и бесконеч­ но дифференцируемых на R функций. Очевидно, что есть линейное пространство. Введем в этом пространстве сходимость.

Будем говорить, что последовательность функций {(рп(х)}, где

если выполнены следующие условия:

1)носители всех ip„(x) лежат на некотором отрезке [а,Ь];

2)при любом к £ N последовательность ip ^\x ) равномерно на R

сходится к tp(k\x ) .

Будем линейное пространство ГХс введенной выше сходимостью называть пространством основных функций.

Упражнение 1. Показать, что функция

при любом а € R принадлежит пространству ФФ. Нарисовать график этой функции.

3. Пространство ФФ обобщенных функций. Пусть каждой функции р £ ФФпоставлено в соответствие комплексное число (f,p), причем для любых двух комплексных чисел а,[3 и любых двух функ­ ций (р,'ф £ 63 выполнено равенство

(/, ар + /Зф) = a(f, р) + /3(/, ф).

Тогда говорят, что на ФФопределен линейный функционал / . Функ­

ционал / называется непрерывным, если из р п -4 р при ri —1 оо следует, что ( f , p n) (f , p ) при те ^ оо.

Множество всех линейных непрерывных функционалов будем обо­ значать через ФФ. Множество ФФ) будет линейным пространством, если естественным образом определить операцию сложения непрерывных линейных функционалов и операцию умножения непрерывных линей­ ных функционалов на комплексные числа. Если а, (3 £ С, fi, f 2 £ ФФ, то по определению afi + /З/2 есть непрерывный линейный функционал, действующий на основные функции р £ ФФ по следующему правилу:

Нетрудно показать, что определение корректно, т. е. чтофунк­ ционал afi + /З/2, определяемый равенством (6), действительноли­ неен и непрерывен.

В 9/ выделяют класс регулярных функционалов. Если функция f(x) абсолютно интегрируема на любом конечном отрезке (локально интегрируема), то она порождает функционал

—СЮ

Ле м м а 1. Формула (7) определяет линейный и непрерывный функ­ ционал в ФФ, если f(x) — локально интегрируемая функция.

ОДля любой функции р £ ФФнесобственный интеграл (7) сходит­ ся. Действительно, пусть носитель финитной функции р расположен на отрезке [а, Ь] и пусть функция р(х), будучи непрерывной на [а,Ь], ограничена по модулю на [а, Ь] числом М. Интеграл (7) сходится, так как

J |f(x) р(х)\ dx ф j\f(x)\\p(x)\dx ф М j\f{x)\ dx,

652 Гл. XV . Интегралы, зависящие от параметра

а функция f(x) абсолютно интегрируема на любом конечном отрез­ ке [а, Ь\.

Линейность функционала, определенного равенством (7), следует

Таким образом, (f , p n) -X (f,tp) при п —¥ оо, т. е. функционал (7) не­ прерывен. •

Линейные непрерывные функционалы, не являющиеся регулярны­ ми, будем называть сингулярными.

Например, ^-функция, определяемая как функционал, действую­ щий на функции tp G ГХ по правилу

будет сингулярным функционалом пространства ^ .

О Линейность и непрерывность функционала (8) очевидны. Докажем его сингулярность. Пусть существует такая локально интегрируемая функция, что

—OO

Вчастности, равенство (9) должно быть выполнено для функции tp(x), определенной равенством (5), при любом а > 0. Поэтому

+СЮ

—СЮ

Сдругой стороны, пользуясь локальной интегрируемостью функ­

ции f(x), подберем такое а, что

— а

Воспользовавшись тем, что tp(x) ^ )5(0), получаем

что противоречит равенству (10). Противоречие доказывает, что ^-функция есть сингулярный линейный и непрерывный на 60 функ­ ционал. •

Пространство 7$ называют пространством обобщенных функций,

а элементы этого пространства — обобщенными функциями.

4.Сходимость в пространстве 60. Будем говорить, что после­

довательность {/„}, где /„ € 60, сходится в 7$ к элементу / € 60, и

су'

писать f n /, если для любой функции у € 60 выполнено равенство

(fn, А -4 (/, <р) при п Уоо.

Такую сходимость функционалов называют слабой сходимостью. Вместо последовательности функционалов f n £ 60 иногда рассмат­

ривают семейство функционалов {/е}, зависящих от параметра е. В

А Очевидно, что функции f e(x) локально интегрируемы и поэтому порождают регулярные функционалы в 60. Возьмем любую функцию у € 660. Пусть ее носитель лежит на отрезке [—Л, Л]. Тогда

- A

Так как функция у(ж) дифференцируема на Я и финитна, то, приме­ няя формулу конечных приращений Лагранжа, получаем неравенство

хе[ — А,А]

ОРазобьем доказательство на ряд пунктов.

1.Покажем, что при а > О

Действительно, делая в интеграле (3) замену переменной х а/А = t и

2.Пусть функция /(ж) непрерывно дифференцируема на конечном

отрезке [0, а] и /(0) ф 0. Тогда при Л —А+оо имеем

а / А

3. Переходим к доказательству теоремы. Без ограничения общнос­ ти можем считать, что Хо = 0. Пусть сначала S(0) = 0.

Рассмотрим интеграл

ь