Учебники / Ter-Krikorov_Kurs_matematicheskogo_analiza_2015

Так как функция, дифференцируемая или имеющая обе односто­ ронние производные в точке, удовлетворяет в этой точке условию Гёльдера, то справедлива следующая теорема.

Т е о р е м а 2. Если непрерывная, абсолютно интегрируемая на R функция /(ж) имеет в каждой точке или конечную производную или конечные односторонние производные, то эта функция представима на R интегралом Фурье

где функции a(y) и b(y) определены равенствами (2).

О Теорема 2 является следствием теоремы 1, так как функция, имею­ щая в каждой точке односторонние производные, удовлетворяет в каждой точке условию Гёльдера (см. § 64). •

Из формулы (12) следует, что

+СЮ

w = 1 fcosxy^d

-J 1 ++ У У

ТТУ 2

3.Интегралы в смысле главного значения. Комплексная форма интеграла Фурье. Пусть функция /(ж) определена на Я и абсолютно интегрируема на любом конечном отрезке [а,Ь].

Если существует конечный предел

то этот предел будем называть интегралом в смысле главного значе-

+СЮ

и в смысле главного значения. Обратное утверждение является не­ верным. Например, если f(x) = х, то

а интеграл J xdx не сходится как несобственный.

— СЮ

Ясно, что для любой нечетной, абсолютно интегрируемой на лю- +00

бом конечном отрезке функции v.p. J f(x) dx = 0.

— СЮ

Интеграл в смысле главного значения можно рассматривать и на конечном отрезке [а,Ь]. Пусть функция f(x) абсолютно интегрируема на любом отрезке [а,/3], принадлежащем отрезку [а, Ь] и не содержа­

Пусть для абсолютно интегрируемой на R функции f(x) справед­ ливо представление в виде интеграла Фурье, т. е. для любого х G R справедливо равенство

644 Гл. XV . Интегралы, зависящие от параметра

(с, + о о ) , что по бесконечным интервалам интегралы от функции |/(ж)|

и, следовательно, существует 6 > 0 такое, что при |Ду| < 6 второй

£

интеграл в (15) меньше -. Из (15) следует, что при |Ду| < 6 при­ ращение |Да(у)| < е . •

Рассмотрим несобственный интеграл

-с ю — сю

ОФормула (17) получается, если умножить равенство (16) на мни­ мую единицу г, сложить его с равенством (13) и воспользоваться фор­ мулами Эйлера

cos у (ж —t) + i sin у (ж —t ) = егу^х~^ = егухе~гу*.

646 Гл. XV . Интегралы, зависящие от параметра

О Так как функция f(x) абсолютно интегрируема на R, то

и, следовательно, f(y) есть ограниченная функция на R.

Для доказательства непрерывности функции f(y) запишем ее в виде

и заметим, что, в силу леммы 4, § 74 функции а(у) и Ь(у) непрерывны на R. •

Упражнение 1. Доказать, что множество абсолютно интегрируемых функций на Я и множество непрерывных функций на R образуют линей­ ные пространства. Показать, что F можно понимать как линейный опера­ тор, действующий из линейного пространства абсолютно интегрируемых функций в пространство непрерывных функций на R.

Указание. Доказать, что для любых A,/i е С выполнено равенство F[A/(*) + уу(х)} = AF[f] + yF[g]

О Так как выполнены условия теоремы 3, § 74, тосправедливо равен­ ство(12), § 74, а следовательно, и равенства (17) и(18), § 74, которые, применяя обозначения (1) и (2), можно записать в виде (5). •

3.Преобразование Фурье производной.

Те о р е м а 2. Если непрерывная и абсолютно интегрируемая на R

функция f(x) является кусочно гладкой на любом отрезке [а, Ь] С R, а функция /'(ж) абсолютно интегрируема на R, то

Так как производная f f(x) абсолютно интегрируемая функция, то су­

Покажем, что А = 0. Если, например, А > 0, то существует такое число a € R, что при х > а выполнено неравенство f ( x ) > - А, откуда

Так как \е ^ гху\ = 1, то внеинтегральный член в правой части этого равенства обращается в нуль и, следовательно, справедливо равенст­ во (6). •

О Формула (7) доказывается по индукции с использованием форму­ лы (6). •

4. Дифференцирование преобразования Фурье.

Т е о р е м а 3. Е сли функция f ( x ) непрерывна на R, а ф ункции f ( x )

и x f ( x ) абсолютно инт егрируемы на R, то функция f ( y ) = F [ f ] имеет на R непрерывную производную, причем

О Дифференцируя интеграл (3) по параметру у, получаем ра­ венство

Обоснование законности дифференцирования под знаком ин­ теграла сводится к проверке условий теоремы 6, § 72. Интеграл

+ СЮ

J (—i x ) f ( x ) еОгху d x сходится равномерно по параметру у на Я по

— СЮ

признаку Вейерштрасса, так как |(—гж)/(ж) еОгху\ = |ж/(ж)|, а интег-

+ СЮ

рал J |ж/(ж)| dx сходится. •

Иногда функцию f(x) называют оригиналом, а функцию f(y) = = F[f] ее изображением по Фурье. Из теорем 2 и 3 следует, что операции дифференцирования оригинала соответствует операция ум­ ножения изображения на независимую переменную iy, а операции умножения оригинала на независимую переменную —ix соответству­ ет операция дифференцирования изображения. Эти свойства преоб­ разования Фурье являются основой операционных методов решения дифференциальных уравнений.

Упражнение 2. Пусть S есть класс бесконечно дифференцируемых функций таких, что любая производная f ik^(x) убывает на бесконечности

быстрее любой отрицательной степени х~т. Показать, что:

1)класс S непуст;

2)S есть линейное пространство;

3)оператор Фурье F отображает S в S линейно и взаимно однозначно. Указание. Воспользоваться следствиями из теорем 2 и 3 и результа­

том упр. 1.

: ^ = л/2п, I(y) = V2ne y" 2

-f-C X )

▲

§76. Элементы теории обобщенных функций

1.Введение. В физике постоянно пользуются такими идеализи­ рованными понятиями, как материальные точки, точечные заряды, магнитные диполи и т. д. На самом деле сосредоточенных в точке масс или зарядов не существует. Когда говорят о материальной точ­ ке массы 1, то это идеализированная модель шара достаточно малого радиуса е и массы 1. Если в пространстве нет других масс, то плот­ ность материи в пространстве будет распределена по следующему закону:

Если устремить е к +0, то из (1) получим, что предельная плотность S(x) имеет вид

« * > = { £ ” ' ^ 8 : (з)

Зная плотность (3), нельзя по ней восстановить массу при помощи интегрирования, так как функция (3) не интегрируема ни по Риману, ни в несобственном смысле.