Учебники / Ter-Krikorov_Kurs_matematicheskogo_analiza_2015

Итак,

Ш = С1е~», 12(у) = -1[(у) = С!в~у при у е [ф+оо). (30)

Так как 6 — произвольное положительное число, то из (30) следует, что

когда оба интеграла несобственные. В теореме 5 была обоснова­ на перестановка порядка интегрирования, когда внутренний интег­ рал несобственный, а внешний собственный. Сложнее обосновывать перестановку порядка интегрирования, когда оба интеграла несобст­ венные.

Т е о р е м а 7. Пусть функция f(x, y) непрерывна на множестве

{(х ,у ): а ф х < Ь, с ф у < d} и выполнены следующие условия:

ь

1) несобственный интеграл J\ f ( x, y) \ dx сходится равномерно по

а

параметру у на любом отрезке [с1, d'] С (с, d);

d

2) несобственный интеграл J\ f ( x, y) \ dy сходится равномерно по

При написании формул (38) использована равномерная сходимость несобственных интегралов в правых частях равенств (38) по пара­ метру к при к 0 (признак Дирихле).

^+оо +оо

634 Гл. XV . Интегралы, зависящие от параметра

Изменение порядка интегрирования при к > 0 обосновывается при помощи теоремы 7, предельный переход при к -X +0 под знаком ин­ теграла возможен в силу его равномерной сходимости по параметру

§73. Эйлеровы интегралы

1.Гамма-функция Эйлера. Гамма-функция Эйлера Г(ж) опре­ деляется как несобственный интеграл

+о о

Для того чтобы можно было применить теоремы предыдущего параграфа, представим интеграл (1) в виде суммы двух интегралов

О1

Оба интеграла сходятся равномерно по параметру х на любом конеч­ ном отрезке [а, Ь] С (0,+оо) по признаку Вейерштрасса. Действитель­ но, пусть 0 < а < 1, Ъ> 1. Тогда 0 ^ t x~1e~t ^ t0-1 при х ^ a,

1 1

дут непрерывными функциями параметра х на произвольном отрезке [а, Ь] С (0, + о о ) , а поэтому Г(ж) есть непрерывная функция при х > 0.

При х > 0 функция Г(х) непрерывно дифференцируема, причем

1 +СЮ +СЮ

О Первая из формул (8) получается, если в интеграле (7) сделать за­ мену переменной t = Y ~—• Вторая формула (8) получается из первой, если разбить интеграл на два: по отрезку [0,1] и интервалу (1,+оо),

„1 *

иво втором интеграле сделать замену переменной —= и. •

Последняя формула получается при г = ттх из формулы (10), § 64,

задающей разложение —— на элементарные дроби. • sin z

4) В(х,у) выражается через гамма-функцию, а именно

+ о о

О В интеграле Г(ж) = J £8_1е_*<й сделаем замену переменной t =

= (1 + u)v, v > 0, и положим s = х + у. Тогда

Г(ж + у) = j vx+y- 1e - (1+'l)vdv.

(1 + и ) х +У

Умножим это равенство на те*-1 и проинтегрируем по и от 0 до +оо. В левой части, пользуясь формулой (8), получим произведение Г(х + у)В(х,у), а в правой — изменим порядок интегрирования. Тогда

Обоснование изменения порядка интегрирования производится при помощи теоремы 7, § 72 аналогично тому, как это делалось в примере 9, § 72 при вычислении интеграла вероятностей. •

Сл е д с т в и е (формула дополнения для гамма-функции). При х ф

Ф±fc, к = 0 ,1,..., те,..., справедлива формула

Многие интегралы могут быть выражены через эйлеровы интег­ ралы.

Пр им ер 1. Выразить через гамма-функцию следующий интег­

рал:

п / 2

I = j sin0-1 ip cos6-1 p dp, a > 0, b > 0.

А Сделаем замену переменной ж = sin2 ip. Тогда

dx = 2 sin tpcos tpdp, dp = i ж-1//2(1 —ж)-1/2 dx

Полагая a = 1 + с, !) = 1 - с и пользуясь формулой дополнения (12), получаем при |с| < 1 формулу

§74. Интеграл Фурье

1.Понятие об интеграле Фурье. Пусть функция /(ж) абсо­ лютно интегрируема на R = (—оо, +оо). Это означает, что найдутся

точки щ, г = 1, гг, такие, что ^оо < а\ < ... < ап < +оо, и на каждом из отрезков [а,Ь], не содержащих точек а,, г = 1,п, функция /(ж) ин­ тегрируема по Риману, а интегралы

сходятся как несобственные интегралы с двумя особыми точками. По определению

Введем понятие интеграла Фурье абсолютно интегрируемой на R

функции /(ж). Для такой функции по признаку сравнения являются сходящимися следующие интегралы:

+ 0 0 + СЮ

Поставим в соответствие функции /(ж) несобственный интеграл:

— СЮ

который называется интегралом Фурье абсолютно интегрируемой на R функции /(ж).