Добавил:

citly Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого (бывш. СПбГПУ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебники / Ter-Krikorov_Kurs_matematicheskogo_analiza_2015

.pdf

Скачиваний:

162

Добавлен:

19.01.2020

Размер:

8.17 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 6162 / 6862 63 64 65 66 67 68 > Следующая >>>

610 Гл. X IV . Ряды Фуръе

^ щ( х , e j ) + ^		=	(х, х) —^ а,х, —^				а^х* + ^ а ^ г —
г = 1	г= 1				г= 1	г= 1		г= 1
			=	! m	■^	\|Xj Р +	^ ( а * -	Хг)(сКг “
					г= 1		г= 1
Следовательно,				п		п
	а„ = \| \| ж \| \| 2			п		п
0 ^	а„ = \| \| ж \| \| 2		-	^2 \xi\2 +		I a i ~ x i\2-		( И )
				г = 1		г = 1

Из равенства (11) следует, что минимум ап достигается при а* = = х*, причем

c tiE C , г = 1 , п	ап =	Е;	= Im	Е1-г'!2- xi =(x,ei
0 ^ min	ап =	X — У Хгвг
		г = 1		1 = 1

(12)

Сле дс твие . Для коэффициентов Фурье элемента х по ортонормированной системе {е,} справедливо неравенство Бесселя

Е м 2 ^	X	(13)
1 = 1
О Из (12) следует, что У ^\|ж ,\|2 ^	\|\|ж\|\|2. Переходя к	пределу при
г=1

п—^ оо, получаем неравенство Бесселя. •

7.Полнота системы элементов {е*} в унитарном простран стве. Полнота тригонометрической системы в L 2(—iг,7г). Сис тема элементов {е,} называется полной в унитарном (нормированном) пространстве Е, если любой элемент х € Е может с любой степенью

точности быть приближен по норме конечной линейной комбинацией

П	П
УР ае, т. е. для любого е > 0 найдется линейная комбинация
i= i	i = i
такая, что
Е<	(14)
X — У Щвг < £.	(14)
i=l

Т е о р е м а 3. Если { е , } — ортонормированная система в унитар ном пространстве Н, то следующие условия эквивалентны:

1)система {е,} полна в Н;

2)для любого х € Н справедливо равенство Парсеваля

X = Е М 2’ ж*= (ж>е*);

(15)

i=l

§ 70. Сходимость ряда Фурье в смысле среднего квадратичного

611

3) для любого ж € Н выполнено равенство

оосю
ж = Е :	(16)

*=1

О Докажем, что 1)=^2). Пусть ортонормированная система {е,} пол-

на в Н . Тогда для любого е > 0 найдется линейная комбинация УУ а^е,

такая, что справедливо неравенство (14). *=1 В силу минимального свойства коэффициентов Фурье

О <	X — У Хгвг	= IX!	• E n 2	X — У		( X i C i < е2.
	Е :		• E n 2	^ -г ^ Е
	г = 1		i=i	1 = 1
Используя это неравенство и неравенство (13), получаем
				Жг >2	<,	£2 .
	о ^ ini2 - уум 2 ^ ini2 - Е м
		г=1		г=1

В силу произвольности е должно быть справедливо равенство Парсеваля (15).

Докажем, что 2)=^-3). Пусть справедливо равенство Парсеваля (15).

Тогда	п		п
X —	Жi6i	= ж	УУ \|Жг Р —У0 при П —УОО,
	i=1	'	i=1

т.е. справедливо равенство (16). Утверждение 3)=И) очевидно. •

J1 е м м а	5. Пусть подпространство L		плотно	в унитарном
пространстве Н, а система {е,} полна в L. Тогда система элемен
тов {е,} полна в Н .
О Пусть ж — произвольный элемент		пространства		Н. Так как L
плотно в Н, то для любого £ > 0 найдется элемент у € L такой, что
£			то найдется линейная
\|\|ж —у \|\| < -. Так как система {е,} полна в L,			то найдется линейная
2	п
комбинация УУае такая, что
	*=1
	у - УУ а,ег	< 1 -
	1 = 1

Тогда

Ж — УУ It,С,	^ \\х~у\\	"	v - Т , сае;
1=1	'	"	i=1

^£ , е

<— — = £. 2 2

Поэтому {е,} — полная система в пространстве Н . •

Т е о р е м а 4.	Тригонометрическая система	полна в Тг(—7Г,п).
О Пространство	Ь2 (—ж,ж) есть пополнение	7г,7г). Поэтому

612	Гл. X IV . Ряды Фурье
—7Г, 7Г)	ПЛОТНО В 1*2(—7Г, 7Г). ПрОСТрЭНСТВО НвПрврЫВНЫХ фуНКЦИЙ,

принимающих одинаковые значения в точках 7Ги —7Г, в силу леммы 4 плотно в (—7г,7г), а следовательно, и в 7г,7г).

Осталось, в силу леммы 5, показать, что тригонометрическая сис

тема полна в подпространстве L непрерывных на	[—7Г, 7г] функций,
принимающих одинаковые значения в точках 7Ги	Каждую такую

функцию можно в силу теоремы Вейерштрасса равномерно прибли зить тригонометрическим многочленом Т(х), т. е.

	max \ f ( x ) —T(x)\<e,
	— 7 Г < 1 Г < 7 Г
где Т(х) = ^	^ A n cos пх + Вп sin пх.
Но тогда f(x)	71=1
Но тогда f(x)	можно приблизить с любой степенью точности три

гонометрическим многочленом и по норме пространства L2 (^ir,ir) (в смысле среднего квадратичного), так как

— 7Г
Итак, тригонометрическая система полна в	7г,7г). •

Следствие . Из теорем 3 и 4 следует, что для любой функции / б ^ [ —7г,7г], в частности, для любой непрерывной или кусочно не прерывной функции, выполнено равенство Парсеваля

|9 0 0 Ж

+ Y 1 w	2 + 16»!2 = l / \	dx
71=1	— 7Г

и ряд Фурье такой функции сходится в смысле среднего квадратично

го к функции f(x),	т. е.
7Г
lim Г f ( x ) - % £ ( < * cos кх + Ъиsin кх) dx = 0.
пг—¥> оо0 0 J	I
— 7Г	к = 1
Упражнение	1. Доказать, что система
полна в пространстве 1/г(—1 , 1 ).
Упражнение	2. Доказать, что система многочленов Лежандра Ln(x),

определенных равенством (7), § 61, полна в пространстве 1/г(—1,1). Указание. Ортогонализировать систему {xk}, fc = 0,1,2,..., на [—1,1]

при помощи процесса Грамма-Шмидта [7]. Тогда каждая функция хк (к = = 0,1,2,...) будет конечной линейной комбинацией ортогональных много членов, отличающихся лишь постоянными множителями от многочленов Лежандра.

§ 70. Сходимость ряда Фурье в смысле среднего квадратичного

613

8. Эквивалентность полноты и замкнутости ортогональ ной системы в гильбертовом пространстве.

Т е о р е м а 5. Пусть Н — гильбертово пространство и {е,} — ортонормированная система элементов. Для того чтобы ряд

ОО

£ <' а*е* i=1

сходился, необходимо и достаточно, чтобы сходился числовой ряд

ОО

£ М 2-

г= 1

ОН е о б х о д и м о с т ь следует из неравенства Бесселя. Если

оо			п		оо
.г у Щвг, то	di =	lim ( 7		dyey, е, ) = (х, е,) и 7		ё	IdA2 ^ \|\|ж\|\|2-
ё	п—VOO					ё
г = 1			k =	1	г = 1
				оо	\|аД2 сходится. Тогда
Д о с т а т о ч н о с т ь .			Пусть числовой ряд		\|аД2 сходится. Тогда
				г = 1
для любого е > 0 найдется такой номер N, что для всех те, то > N
выполнено неравенство			т
г			т
			£ \| « г \| 2 <£•
			к = п		оо
					оо
Последовательность частичных сумм ряда					а^е,	будет фунда-

г=1 ментальной, так как при любых те, тег > N выполнено условие

т9 т

\|\|sn - «mil2 = I £ а * е *	= у ^ \| а у < е,
i = n	i =n
где sn = d\&\ + ... + d nen.

Но в полном пространстве любая фундаментальная последова тельность сходится. Следовательно, последовательность частичных

	СЮ
сумм sn сходится, т. е. ряд	сходится. •

*=1 Сле дс твие . Если {е,} — ортонормированная система в гильбер

товом пространстве Н, то для любого х € Н ряд Фурье по ортонормированной системе {е,} сходится и элемент х представим в виде

	ОО
£ =	+	где	=	е*), (y16j) = 0, г € Л/.	(17)
	г=1

сю

О Пусть Xi6i есть ряд Фурье элемента х. В силу неравенства

• 1	СЮ
г = 1

Бесселя числовой ряд |я*|" сходится. Из теоремы 5 тогда следует,

614			Гл. X IV . Ряды Фурье
что ряд	будет сходящимся.
*=1
Пусть
	у = х — у '		ж,е, =	lim	(хX — у} ' Хгвг
		< ^	п—^оо '			у
		< ^		, ±схг> \		< ^
		1 = 1				1 = 1
В силу ортогональности системы					} и непрерывности скалярно
го произведения справедливо равенство
		п
(у,е,) =	lim	(х — у '	еЛ	=	(ж,е,) —ж* = 0,		i £ N.	•
П —¥ОО		\	)
		1 = 1
Ортогональная система {е,} называется замкнутой в унитарном
пространстве Н, если для любого х					£ Н	из (х, е,)	= 0, г =	1,2,...,
следует х = 0.
Т е о р е м а	6. Для того чтобы ортонормированная система была

полной в унитарном пространстве, необходимо, а в случае полного пространства и достаточно, чтобы она была замкнутой.

О Н е о б х о д им ос ть . Пусть {е,} — полная система в унитарном пространстве Н . Если для элемента х £ Н справедливы равенства (ж,е,) = 0, i £ N, то, применяя равенство Парсеваля, получаем

WI2 = УУ(ж,е*)|2 = 0, г=1

т.е. х = 0.

До с т а т о ч н о с т ь . Пусть Н — полное пространство. Тогда каж

дый элемент х £ Н можно представить в виде (17). Так как систе ма {е,} замкнута, то из равенств (у,е,) = 0, i £ N, следует, что у = 0. Таким образом, любой элемент х есть сумма своего ряда Фурье по ортонормированной системе {е,}. Следовательно, система {е,} полна в Н. •

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ XIV

1.	П оказать графически,			что	уравнение tg А = А им еет счетное		мно
ж ество	решений {Afe}, k = 1,..., и			что	система функций { sin Ад,*} ортого
нальна на отрезке [0,1].
У к а з а н и е . Воспользоваться тем , что ф ункция у к = sin Ад* удовлетво
ряет условиям
	Ук+^кУк=0,		Ук(0) = 0,			3/fe(l) —3/*(1) = 0
и справедливо равенство
	1					1
	j (УкУп -	УпУк) dx = у куп - у'п ук о= 0.
2.	П усть ф ункция	/( * )	абсолютно			интегрируем а на [0, тг] и для	всех
х £ [0, тг] выполнено условие /( * ) =				f ( n	— х). П оказать, что при разложении

Упражнения к гл. X IV

615

функции /( * ) в ряд по ортогональной системе {cos псе} все коэффициенты

Ф урье с нечетны ми номерами равны нулю, а при разложении	/(се) в ряд
по ортогональной системе {sin псе} все коэффициенты Ф урье	с четны ми
номерами должны обратиться в нуль.

3. П оказать, что у непрерывной периодической, не равной тож дествен но нулю функции есть минимальны й положительный период.

4 . П оказать, что для любых 5, е >		0 и для любых се € [<У, тг —<У] тригоно
м етрические ряды
ОО	ОО	ОО	ОО
E cos пх	sin пх	cosnx	Y '4 sinnz
n 6 ’	n 6 ’	ln n ’	ln n
n=l	n=l	n=2	n=2

СХ О Д Я Т С Я .

Ук а з а н и е . Воспользоваться признаком Дирихле сходимости числово го ряда.

5. Пусть 0 < е < 1 и /(се) = |се|г-1 при 0 < * 7г. П оказать, что для ко эффициентов Ф урье разлож ения функции /(се) в тригоном етрический ряд

Ж	д.	~	С ( £ )
Ф урье справедливы асим птотические формулы а„		~	—— при n —1 оо, где
о	00 .		п 6
2	/-сов*

v ' тг/ t1-®

6. Разлож ить функции c h * и sh * на отрезке [—тг,тг] в тригонометри ческие ряды Фурье. Исследовать полученные ряды на равномерную сходи мость. Нарисовать графики сум м рядов.

			ОО
7.	П оказать, что ряд N ' cosn*				де может бы ть рядом Ф урье функции
класса	r ,		n_1	V "
класса	I / / (—7г,7г).		n_1
8.	П оказать, что		система	функций sin * ,		..., sin пх, ...	полна в прост
ранстве Li{ 0 ,7г).
9.	П усть h	есть	линейное	пространство		комплексных	последователь
ностей	с = (ci,C	2, ...)	таких, что ряд		\|c i\|“ + \|сг\|“ + ••• является сходящ имся.

П оказать, что на h можно определить скалярное произведение любых двух элементов с = (ci, о>,...) и d = (di, d i , ...) формулой

(с, d) = c\d\ + ... + cndn + •••

и что с таким скалярны м произведением h есть гильбертово пространство.

_ „	тт	„	Х-' ' sm пх
10.	П оказать,	что тригоном етрический	ряд >-- -------- не мож ет быть
			Inn
			п=2

ом Ф урье кусочно непрерывной функции.

У к а з а н и е . П оказать, что при интегрировании ряда по отрезку ^0,

возникает расходящ ийся ряд.

Г ЛА В А XV

ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА

§71. Собственные интегралы, зависящие от параметра

1.Определение собственного интеграла, зависящего от па раметра. Пусть Y — произвольное множество (множество парамет ров), a f(x, y) — функция, определенная на множестве пар (х , у ), где

х£ [а, Ь] С R, у £ Y . Если при любом значении параметра у £ Y

функция f(x,y) как функция х интегрируема по Риману на [а,Ь], то

ь
интеграл J f ( x , y ) d x есть функция параметра у,	определенная на
а
множестве Y . Интеграл
j f ( x , y ) d x	(1)
а

называется собственным интегралом, зависящим от параметра.

Обычно Y является числовым множеством или множеством в R n . Например,

7Г
J0 (ж) = — cos (х cos ф) (кр	(2)

7Г J

есть собственный интеграл, зависящий от параметра х £ (—оо, +оо).

2. Свойства собственного интеграла, зависящего от пара метра.

Т е о р е м а 1	(о непрерывной зависимости собственного интегра
ла отпараметра). Если функция f(x,y)				непрерывна в прямоугольнике
К = {(х, у): а ^	х ^	Ь, с ^ у ^ d}, то интеграл (1)есть непрерывная
функция параметра у на [с, d\.
Доказательство этой теоремы приведено в § 47.
Т е о р е м а	2 (о	перестановке порядка интегрирования). Если
функция f(x,y)	непрерывна в прямоугольнике К = {(х ,у ):				а ^ х ^ Ь,
с ^ у ^ d}, то
	d	ь	ь	d
	J dy J f(x,y)dx = j d x J f(x,y)dy.				(3)
	с	a	a	с

О Каждый изповторных интегралов в формуле (3)	равен двойно
му интегралуот функции f(x,y) по прямоугольнику	К (см. § 47). •

§71. Собственные интегралы, зависящие от параметра

617

Т е о р е м а 3 (о дифференцировании собственного интеграла по па раметру). Пусть функция f(x,y) непрерывна в прямоугольнике К = = {(х, у): а ^ х ^ Ь, с ^ у ^ d} и имеет непрерывную частную про-

изводнию Q f (\x у) в области С такой, что К С G. ду

Тогда интеграл (1) есть непрерывно дифференцируемая функция параметра у на отрезке [с, d\, причем

		ь	ь
	± f f ( x , y ) dx = (У-{х,у)дх,			у € [c,d\.	(4)
	dyj		J ду
	а		а
О	Пусть у — произвольная точка из отрезка [с, d]. Применив форму-
лу (3) к функции		(/fix Ti}	в прямоугольнике К у = {(х, у) : а ^ х		^ Ь,
лу (3) к функции		Q	в прямоугольнике К у = {(х, у) : а ^ х		^ Ь,
с ^	Г1^ I/}) получаем равенство
	j dy j ^ ( x , i 1)dx = j		dx j ^~(x,T]) dr] = j f ( x , y) dx —Co,
	C O	“	C6	“	(5)

CQ = Jf(x, c)dx .

Так как функция -^-(x,y) непрерывна в прямоугольнике К, то в

силу теоремы 1 функция

Ф ) = j | ^ ( x,r])dx

будет непрерывной функцией г/ на отрезке [с,d],

Левая часть равенства (5) может быть записана как f уз{г)) dr). Так

как функция (p(rj) непрерывна на отрезке [с, d], то		с
у	ь
— J	v,(r])dr] = >р(у) = J Qj(x,y) dx.
с	a

Так как левая часть равенства (5) есть функция, непрерывно диф-

ференцируемая на отрезке [c,d\, то и функция f f(x,y)dx, стоящая в

правой части равенства (5), непрерывно дифференцируема на отрез ке [с,с!\. Поэтому

ь	ь
f (x, y)dx	= ip(y) = j ^ ( x , y ) dx. •
a	a

З а м е ч а н и е	1. Теоремы	1-3 остаю тся	справедливыми	и при замене
функции f(x, у)	на функцию ip(x)f(x, у), где ф ункция ip(x)			интегрируем а
на отрезке [а,Ъ].	См. следствие	2 и упр. 1 в §	47.

618	Гл. XV .	Интегралы, зависящие от параметра
	У п р а ж н е н и е 1.	Д ифференцируя интеграл по параметру, показать,

что ф ункция Jo(x), определяемая равенством (2), удовлетворяет уравнению Бесселя

	x J o ( x ) + Jo(x) +			xJo(x) = 0.
У п р а ж н е н и е 2. П усть функции f ( x , y )						и — ( х, у)		непрерывны в R 2,
						д у
а функции а(у)	и /Э(у) непрерывно дифференцируемы на отрезке [с, Д]. По
казать, что справедлива формула
/3(1/)
J f ( x , y ) d x = J — ( x , y ) d x + / 3 ' ( y ) f ( / 3 ( y ) , y ) ^ a ( y ) f ( a ( y ) , y ) , y £ \ c , d \ .
а ( у )	а ( у )
У к а з а н и е .	Рассм отреть в /?3 непрерывно дифференцируем ую ф унк
цию			V
		Ф(y,u,v) = j		f(x,y)dx
и показать, что
дФ	,	дФ	,,	,	<ЭФ		r d f ,	, ,
OIL	У),	-7- = f ( v , y ) ,			—	=	— ( x , y ) d x ,
OIL		OV			Оу	J	Оу
	$(y,a(y),f3(y)) =			& { у )	f(x, у) dx.
	$(y,a(y),f3(y)) =			j	f(x, у) dx.

“<»)

§ 72. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость несобственного интеграла

по параметру

1.		Равномерная сходимость несобственных интегралов по
параметру. Предположим, что выполнены следующие условия:
1)	—оо < а <Ъ ^ +оо;
2)	функция f(x, у) определена на множестве пар (х , у), где х £ [а, Ь),
у £ Y , a Y		есть известное множество параметров;
3)	для любого £ £ [а, Ь) и для любого у £ Y существует интеграл
Римана		^

j f(x,y)dx;

4) для любого у £ Y интеграл j f(x,y)dx сходится как несобст-

венный, т. е. (см. § 38) на множестве Y определена функция

ь	£
Ф (у) = J f ( x , y ) d x =	lim ^J f ( x , y) d x .	(1)
а	а
Если выполнены условия 1)-4),	то будем говорить, что несобст-

§ 72. Несобственные интегралы, зависящие от параметра

619

венный интеграл j f ( x , y ) d x (с особой точкой Ь) сходится на мно

жестве Y .

Таким образом, несобственный интеграл J f ( x , y ) d x сходится на

множестве Y , если для любого у £ Y и любого е > 0 найдется число Ъ'(у,е) < Ъ такое, что для любого £ £ (Ь',Ь) выполнено неравенство

ь	С	ь
j f(x, у) dx -	J f ( x , у) dx =	J f(x, y) dx < e .	(2)
a	a	£

Аналогичным образом можно рассмотреть несобственный интег-

рал / f ( x, y) dx с особой точкой а, ^оо ^ а < Ь. Если и точка а, и

точка Ъособые, то интеграл нужно разбить на сумму двух интегра лов с одной особой точкой (§ 38). Теоремы 1-3, § 71, вообще говоря, не переносятся на несобственные интегралы, зависящие от парамет ра, если не накладывать дополнительных ограничений на характер сходимости несобственного интеграла. Например, интеграл

+ о о
1(у) = J уеГху dx	(3)

сходится при у^О. Очевидно, что I (0) = 0. Пусть у > 0. Тогда, полагая ху = t, получаем, что I(y) = 1. Следовательно, в точке у = 0 функция 1(у) разрывна, несмотря на то, что подынтегральная функция интег рала (3) непрерывна на множестве Т = {(х,у): 0 ^ х < +оо, 0 ^ у ^ 1}.

О п р е д е ле ни е (равномерной сходимости по параметру несобст- ft

венного интеграла). Пусть несобственный интеграл J / (х,у)dx схо-

	а
дится на множестве Y . Будем говорить, что этот несобственный ин
теграл сходится равномерно по параметру у	на множестве Y , если
для любого е > 0 существует Ъ' G [а, Ъ) такое, что для любого £ € [Ь1, Ъ)
и для любого у £ Y выполнено неравенство
ь
J f ( x , y ) d x < е.
С
Пр и ме р 1. Интеграл
+ оо
J е~х cos xydx	(4)

сходится равномерно по параметру у на интервале (—оо, +оо) = R.

<<< < Предыдущая 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 6162 / 6862 63 64 65 66 67 68 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Учебники

#
19.01.20208.17 Mб162Ter-Krikorov_Kurs_matematicheskogo_analiza_2015.pdf
#
29.09.201917.39 Mб120Задачник Демидович.pdf
#
29.09.20196.68 Mб112Конспекты по химии.pdf