Учебники / Ter-Krikorov_Kurs_matematicheskogo_analiza_2015

600 Гл. X IV . Ряды Фурье

Заметим, что sin кх и cos кх раскладываются в степенные ряды, сходящиеся для всех вещественных х (радиус сходимости этих сте­ пенных рядов равен +оо). Так как Тт(х) есть конечная линейная комбинация функций sin кх и cos кх, то Тт(х) также раскладывается в степенной ряд, сходящийся для всех вещественных х,

Т т { х ) = С0 + С \ Х + .. . + Сп Х П + ...

Известно, что на любом отрезке [а,(3\, лежащем внутри интервала сходимости, степенной ряд сходится равномерно. Следовательно, для любого е > 0 существует п такое, что

Если положить Рп(х) = Со + С\Х + ... + спхп, то в силу (1) и (2) полу­ чаем

0 < х < п

Пусть теперь функция f(x) непрерывна на произвольном отрез­ ке [а,Ь]. Положим

F(t) = / [а + “ (& —а)]> 0 ^ t ^ я.

Тогда функция F(t) непрерывна на [0, я] и ее можно равномерно при­ близить на [0,я] многочленом Qn(t), т. е.

Полагая

получаем из неравенства (3), что

max |/(ж) —Рп(х)| < е. •

§70. Сходимость ряда Фурье

всмысле среднего квадратичного

1.Унитарное пространство. При дальнейшем изложении удоб­ но будет пользоваться геометрическим языком. Из курса линейной алгебры [7] известны определения комплексного линейного и унитар­ ного пространства. Напомним, что в линейном пространстве опре­ делены операции сложения элементов (векторов) и умножения эле­ ментов на комплексные числа, причем эти операции удовлетворяют следующим аксиомам линейного пространства Е:

1)х + у = у + х для любых х,у £ Е;

2)х + (у + х) = (х + у) + z для любых x,y,z £ Е;

3)существует элемент 0 £ Е такой, что для любого х £ Е спра­ ведливо равенство х + 0 = х;

Греческими буквами обозначались комплексные числа, латински­ ми — элементы линейного пространства Е.

Унитарным называется комплексное линейное пространство Е, для каждой пары элементов которого определено комплексное число (х ,у ) — их скалярное произведение.

Аксиомы скалярного произведения:

1)(х ,у ) = (у, х ) для любых х,у £ Е;

2)(х + y,z) = (х, z) + (у, z) для любых x,y,z £ Е;

(х + Ху, х + Ху) (У 0, то, пользуясь свойствами скалярного произведе­

и признака сравнения для несобственных интегралов следует, что не-

ли определить скалярное произведение функций f,ip£ L(i (а, Ь) при по­ мощи следующей формулы:

венный интеграл (3) сходится. Первые три аксиомы скалярного про­ изведения проверяются без труда. Проверим выполнение аксиомы 4).

ь

Пусть ( /,/) = J \ f \ 2dx = 0. Так как / £ L^{a, b), то найдется такое

разбиение отрезка [а, Ь] точками {ж*}, г= 0, те, что на каждом из интер­ валов (xi-i,Xi) функция f ( x ) непрерывна. Так как (ж*_1 ,ж*) С [а,Ь], то

в конечном числе точек. Согласно договоренности такая функция отождествляется с функцией, тождественно равной нулю на [а,Ь]. •

2. Нормированные пространства. В нормированных прост­ ранствах определены длины векторов, но нет скалярного произве­ дения. Более точно, комплексное или вещественное линейное пространство Е называется нормированным, если каждому элемен­ ту х поставлено в соответствие неотрицательное число ||ж|| (норма элемента х), причем удовлетворяются следующие аксиомы нормы:

Если Е есть унитарное пространство, то число ||ж|| = л/(х, х) удов­ летворяет всем аксиомам нормы, и поэтому каждое унитарное пространство будет и нормированным пространством.

Множество непрерывных функций на отрезке [а, Ь] станет нор­ мированным пространством С[а, Ь], если определить норму функции

З а м е ч а н и е . Сходимость в пространстве Ь 2 назы ваю т сходимостью в смысле среднего квадратичного.

Будем говорить, что последовательность точек х п унитарного (или нормированного) пространства Е фундаментальна, если для любого г > 0 найдется номер N такой, что для всех n, т ^ N выполнено неравенство \\хп — хт\\ < £.

Введенное понятие фундаментальной последовательности точек унитарного пространства находится в полном соответствии с вве­ денным ранее в § 23 понятием фундаментальной последовательности точек метрического пространства. Достаточно вспомнить формулу р(х,у) = ||ж —у ||, задающую метрику в унитарном пространстве. Ес­ ли последовательность сходится, то она фундаментальна (см. § 23). В произвольном унитарном пространстве фундаментальная последова­ тельность может не сходиться.

Говорят, что унитарное (нормированное, метрическое) прост­ ранство полное, если любая фундаментальная последовательность его точек сходится к точке этого пространства.

Полное нормированное пространство называется банаховым, пол­ ное унитарное бесконечномерное пространство называется гильбер­ товым.

Нетрудно видеть, что каждое конечномерное унитарное прост­ ранство будет полным (критерий Коши сходимости в пространст­ ве Rn).

Покажем, что существуют неполные бесконечномерные уни­ тарные пространства. Например, пространство LJ?(0,1) неполное. О Для доказательства рассмотрим счетное множество точек

Построим следующую функцию (рис. 70.1):

Очевидно, что / 0 LJ?(0,1), так как множество ее точек разрыва счет­ но. Построим последовательность

/ ( » ,

fn(x) =

0, 0 < Ж< ^ .

Покажем, что последовательность / п фундаментальна в прост­ ранстве (0,1). Так как на отрезке [1/2п,1] функции f n+p и f n

606 Гл. X IV . Ряды Фурье

совпадают, то

Последовательность { f n} фундаментальна. Покажем, что она не может быть сходящейся. Если ip £ L^O, 1) и ||/n —р\\2 -X 0, то для всех то £ N выполнено условие

1 / 2 ™

Так как функция </?(ж) имеет конечное число точек разрыва, то

при достаточно большом то на интервале ^ то+1 >^ ) У функции </?(ж)

точек разрыва не будет, функция /(ж) непрерывна на этом же интер­ вале. Поэтому из (7) следует, что

f ( x ) = p ( x ) при то = А/ + 1,...

Но тогда функция р, как и функция / , должна иметь счетное множество точек разрыва и, следовательно, не может принадлежать пространству L^{a, b). Итак, пространство L^{a, b) неполное. •

4. Пополнение унитарного пространства. Два унитарных пространства будем называть изоморфными, если можно установить такое взаимно однозначное отображение F пространства Е\ на пространство Е2 , что для любых х ,у € Е и любого а £ С выполнены равенства

Е(х + у) = F(x) + F(y), F(ax) = aF(x), (Fx, Fy) = (x, y).

Подмножество L унитарного пространства E, само являющееся унитарным пространством с тем же скалярным произведением, на­ зывается подпространством пространства Е.

Пусть А и В — подмножества унитарного (или нормированного) пространства Е. Еоворят, что В плотно в А, если для любого е > 0 и любого х £ А найдется у £ В такой, что ||ж —у || < е.

J1 е м м а 3. Если А, В, С С Е и С плотно в В, а В плотно в А, то С плотно в А.

[а, Ь] и принимающих на концах этого отрезка равные значения, плот­ но в Z/S? (а, 6).

О Обозначим для краткости через В подпространство кусочно не­ прерывных на [а, Ь] функций, а через С — подпространство непре­ рывных функций, принимающих на концах отрезка [а, Ь] одинаковые значения. Договоримся, что будем доопределять нулем функции вне отрезка [а, Ь\.

Покажем, что В плотно в L ^ a , Ь). Возьмем произвольную функ­

цию / G L ^ a , Ь) и Л1°бое г > 0. Тогда существует такое разбиение

х0 = а < х\ < ... < хп = 6, что на каждом из интервалов (xi_i,Xi)

ъ

функция /(ж) непрерывна, а интеграл J |/ |2 dx сходится как несобст­

венный. Найдется такое S > 0, что а

пxi~\-8

= а < xi < ... < xm = b— ее точки разрыва

первого рода. Построим непрерывную функцию ф(х), обращающуюся в нуль во всех точках жi (рис. 70.2):

■<p(xi - е ) ,

х —х. (^(xi + г), Xi ^ ж ^ Xi + г, г = 0,ш, , <р(ж) в остальных точках,

608 Гл. X IV . Ряды Фурье

где е < - т.ч х Аж,. Аж* = ж* —ж,._i.

4 *=0,ш

Функция ^(ж) непрерывна на отрезке [а, Ь] и

|-0(ж)| ^ М = max |</?(ж)|.

а<^х^Ь

Вне отрезков [ж, — е, ж,] и [ж,, ж, + е] функция совпадает с р>(х) и ее значения по модулю не превосходят М.

Оценивая среднеквадратичное отклонение функции р>(х) от функ­ ции ф(ж), получаем

г=1 и,г

Отсюда следует, что С плотно в В. Итак, С плотно в В, а В плотно в L ^ a , Ь). В силу леммы 3 С плотно в L ^ a , Ь). •

Пополнением унитарного пространства Е называется полное уни­ тарное пространство Е, содержащее плотное в Е подпространство L, изоморфное Е.

Т е о р е м а 1. Для любого унитарного пространства существует пополнение, единственное с точностью до изоморфизма.

Доказательство содержится, например, в [2].

пространству функций, интегрируемых с квадратом по Лебегу [10].

5. Ряды Фурье по ортогональным системам . Пусть Н — бесконечномерное унитарное пространство. Систему элементов {е,},-!,... € Н будем называть линейно независимой, если при любом п элементы е,\, б2, ..., еп линейно независимы. Если любой элемент ж € Н можно представить в виде суммы сходящегося ряда

т оо

то линейно независимая система {е,} называется базисом в Н. Сис­ тема {е,} называется ортогональной, если (e,,ej) = 0 при i ф j, и

то будем говорить об ортогональных и ортонормированных базисах.