Учебники / Ter-Krikorov_Kurs_matematicheskogo_analiza_2015

Потоком вектор-функции а(ж, у, z) через ориентированную поверх­ ность Е назовем следующий поверхностный интеграл первого рода:

(a.,n)dS. (7)

Е

Подчеркнем то обстоятельство, что при изменении ориентации на противоположную интеграл (7) меняет знак. Интеграл (7) называют также поверхностным интегралом второго рода.

Для поверхностного интеграла второго рода используют еще и сле­ дующие обозначения:

(a.,n)dS = J J a n dS = J J ( Р cosnx + Q cosny + Rcosnz) dS =

жидкости, то абсолютная величина интеграла (7) равна массе жидкос­ ти единичной плотности, протекающей через поверхность за единицу времени. Отсюда и происходит слово “поток”.

Воспользовавшись формулой (1) для вычисления интеграла (7), выразим поток векторного поля а через простую поверхность Е, ориентированную нормалями (6), при помощи двойного интеграла по плоской области П от смешанного произведения трех векто­ ров (а,г„,г„):

a , n ) dS = J J - J J J j \ [ r u, r v]\dudv =

J f \p{x{u, v), y(u, v), z(u, v))

При выводе формулы (10) было применено разложение определите­ ля третьего порядка по элементам первой строки; определители вто­ рого порядка записаны через соответствующие якобианы.

532 Гл. XI. Криволинейные и поверхностные интегралы

П р и м е р 3. Вычислить поверхностный интеграл

J J z 2 dx dy

Е

по внешней стороне полусферы х2 + у2 + z2 = 1, г ^ 0 (внешняя сто­ рона определяется нормалями, направленными от центра).

Д Полусферу Е можно задать как график функции z = л/ l —ж2 —у2, (х,у) G 1), О = {(ж,у) : х2 + у2 ^ 1} (рис. 54.2). Внешняя сторона

полусферы в данном случае определяется нормалями, составляющими острый угол с осью Oz. Воспользовавшись формулой (12), получаем

J J z2 dx dy = J J (1 —х2 —у2) dx dy =

= I d<pI ^ ~ r^ rdr = 2ж(1 ~ i ) = f • A

0 0

Пр и ме р 4. Вычислить поверхностный интеграл

J J z dx dy

E

по внешней стороне конической поверхности z2 = х2 + у2, 0 ^ z ^ 1, считая, что внешняя сторона определяется нормалями, составляющи­ ми с осью Oz тупой угол (рис. 54.3).

Д Уравнение поверхности Е можно задать в виде

2 = лД 2 + у2, (х, у) e ft, ft = {(ж, у): 0 < ж2 + у2 ^ 1}.

Воспользуемся формулой (12), но теперь двойной интеграл в этой формуле нужно взять со знаком минус, так как поверхность Е ори­ ентирована нормалями, составляющими с осью Oz тупой угол. Сводя поверхностный интеграл к двойному, а затем переходя к полярным

муле (9) существует как несобственный или как интеграл Римана. По определению будем считать, что этот интеграл есть поток через почти простую поверхность.

Пр име р 5. Вычислить поток вектора а = (x3,y3,z 3) через внут­ реннюю сторону конической поверхности z2 = х2 + у2, 0 ^ г ^ 1 (см. рис. 54.3).

А Поверхность конуса можно параметризовать следующим образом:

Заметим еще, что при параметризации (13) для проекции вектора

Поэтому вектор нормали n = N /|N | составляет с осью Oz острый угол и вектор п определяет внутреннюю сторону конической поверх­

3. При помощи криволинейного интеграла вычислить площадь, ограни­ ченную астроидой

x = acos3t, y = asin3t, О t 2тт.

4. Пусть и(х, у) — гармоническая в области G С R2 функция, т. е. она имеет в этой области непрерывные частные производные первого и второго порядков и удовлетворяет уравнению Лапласа

—=

Показать, что для любой области O c G , ограниченной кусочно гладкой

записать уравнение касательной плоскости и нормали.

6 . Пусть простая поверхность задана уравнением г = r(ii, v), (и, v) 6 G С

С R~ и вектор-функция r(ii, v) имеет непрерывные частные производные второго порядка в области G.

Показать, что выражение (d2r,ru,rv) есть квадратичная форма относи­ тельно дифференциалов du и dv, если u(t) и v(t) при t € \а, 0] являются дважды непрерывно дифференцируемыми функциями.

7. Вычислить осевой момент инерции

9.Воспользоваться результатом упр. 8 и вычислить

'х2 dy dz + у2 dz dx + z2dx dy,

!h

где у; — внешняя сторона сферы

(х —а)2 + (у —Ъ)2 + (г —с ) 2 = В2.

ГЛАВА XII

ТЕО РИЯ ПОЛЯ

сматривать пространство, подчиняющееся законам геометрии Евкли­ да. Напомним, что каждой паре точек А и В пространства можно

поставить в соответствие вектор Jfs. Векторы складываются и ум­ ножаются на вещественные числа по известным из курса аналити­ ческой геометрии правилам, для любых двух векторов определено скалярное произведение [7].

Если выбрана декартова система координат, то каждая точка пространства определяется заданием трех чисел — координат точ­ ки, каждый вектор определяется заданием трех своих компонент по осям координат.

Если в некоторой области П определена функция / : П —^ R, то говорят, что в области П задано скалярное поле. Если выбрана коор­ динатная система, то положение точки М б П определяется заданием трех ее координат, и функция / : <>—> /? будет функцией трех пере­ менных f(x,y,z). В физике рассматривают скалярные поля давлений, температур, плотностей и т. д.

Перефразируем некоторые известные понятия дифференциально­ го исчисления на геометрическом языке.

Говорят, что скалярное поле / дифференцируемо в точке Mq, если найдется такой вектор с, что

Запись V / читается как “набла эф”.

Если в пространстве задана декартова система координат, точки

M(x,y,z), M0(xo,yo,z0) и вектор с = ici + j c 2 + k c 3, то

I01

Уп р а ж н е н и е 2. Пусть во всем пространстве задано дифференци­ руемое скалярное поле }{М). Если а. — вещественное число, то множество точек М таких, что f(M) = а, называется поверхностью уровня скалярного поля f(M). Показать, что при V /(M o) ф 0 вектор V /(M o) направлен по

нормали к поверхности уровня, проходящей через точку Мо.

Пусть в каждой точке области П задан вектор а. Будем говорить, что на П задано векторное поле а. В физике рассматривают векторные поля сил, скоростей, ускорений и т. д.

Будем говорить, что векторное поле а(М) дифференцируемо в точ­ ке MQ, если существует такое линейное преобразование А, что

а(М) - а(М0) = А ( Щ Й ) + o(|M0ill|) при М -х М0. (7)

Проектируя уравнение (7) на координатные оси, получаем ра­ венства

сц(М) - сц(М0) = Аа (х - х0) + Аа (у - у0) + Ai3(z - z0) +

+ 0(\Щ Ё\) при М -х Мо, * = М , (8)

где (Ац) — матрица линейного преобразования А. Из равенств (8) следует, что компоненты щ{М), i = 1,3, дифференцируемы в точ­ ке Мо- Верно и обратное утверждение. Из дифференцируемости ком­ понент щ{М) следует и дифференцируемость векторного поля в точ­ ке Мо-

Используя формулу (6), запишем равенства (8) в следующем виде:

афМ) —ctj)Mo) = (MQM V) (ij)Mo) o(|A/qA^|) при М —у Мо-

Это равенство можно записать и в векторном виде:

а(М) - а(М0) = {М ой V) а(М0) + о(|А/0а1|) при М -х М0. (9)

Здесь дифференциальный оператор AfoAf V применяется к вектору а. Из (7) и (9) следует, что

А ( Ш ) = (М0й V) a(Af0).

Так как определение линейного преобразования А не зависит от выбора координатной системы, то и результат применения оператора

AfoAf V к a(Afo) не зависит от выбора координатной системы.

Л е м м а 1. Линейное преобразование А в формуле (7) определено однозначно.

О Допустим, что существуют два линейных преобразования А3 и А3

таких, что для них выполнено равенство (7). Тогда, вычитая соответ­ ствующие равенства, получим, что

Пусть 1 — произвольный вектор, t — произвольное положительное число и МоА-1 = It. Тогда равенство (10) принимает следующий вид:

Деля равенство (11) на t и переходя к пределу при t —t +0, получаем, что (Аг —А2) 1 = 0. Так как вектор 1 произвольный, то Аг = А2. • Если векторное поле а ( М ) дифференцируемо в точке Mq, т . е. справедливо равенство (7), то будем линейное преобразование (7) называть производной векторного поля в точке M q и обозначать

через а'(Мо).

Упражнение 3. Найти матрицу линейного преобразования а! ( М о ) в декартовой системе координат.

Производная векторного поля по направлению 1 в точке MQ опре­ деляется так же, как и производная по направлению для скалярного поля. Из формулы (9) получаем

определено дифференцируемое векторное поле а (М). Выберем декар­ тову систему координат Oxyz. Тогда

а (М) = (P (x,y,z ), Q(x, у, z), R(x,y, z)).

Дивергенцией векторного поля называется следующая скалярная функция: