Симплекс-метод

Проиллюстрируем алгоритм симплекс-метода на решении простейшей задачи:

–2x₁ + 2x₂ – 2x₃ + 2x₄  2,

2x₁ + 2x₂ + x₃  5,

–x₁ + x₂ – 2x₃ + x₄  0, (1)

x₁ – x₃ + 2x₄  –1,

x₁  0; x₂  0; x₃  0; x₄  0,

Подготовка задачи к решению (составление начальной симплексной таблицы)

Формально начальная таблица составляется так: все коэффициенты стандартных неравенств записываются в начальную симплексную таблицу без изменения знаков, коэффициенты же нестандартных неравенств и максимизируемой функции меняют знаки на противоположные.

	–х1	–х2	–х3	–х4	1
y1 =	–2	2	–2	2	2
y2 =	–2	–2	–1	0	–5
y3 =	–1	1	–2	1	0
y4 =	–1	0	1	–2	1
z =	–16	–2	8	–2	0

Умножая последовательно на верхнюю строку все остальные строки таблицы, получим исходную систему уравнений:

(2)

Система (2) используется в дальнейшем для контроля правильности определения неизвестных величин x_j, y_i и z.

Если составить двойственную задачу к исходной и перейти затем к эквивалентной канонической форме, то ее можно представить в табличной форме:

	v1 =	v2 =	v3 =	v4 =	 =
u1	–2	2	–2	2	2
u2	–2	–2	–1	0	–5
u3	–1	1	–2	1	0
u4	–1	0	1	–2	1
1	16	–2	8	–2	0

Здесь u_i – это двойственные переменные, соответствующие строчным неизвестным y_i исходной задачи, v_j – двойственные переменные, соответствующие столбцовым переменным x_j, а  – целевая функция двойственной задачи.

Система двойственных уравнений получается последовательным умножением на левый столбец таблицы всех остальных ее столбцов:

,

,

, (3)

,

+

Система (3) используется в дальнейшем для проверки правильности значений двойственных переменных u_i, v_j и значения двойственной целевой функции . Так как все числовые коэффициенты обеих таблиц совпадают, то они могут быть совмещены в единую таблицу следующего вида:

	v1 = –x1	v2 = –x2	v3 = –x3	v4 = –x4	 = 1
u1 y1 =	–2	2	–2	2	2
u2 y2 =	–2	–2	–1	0	–5
u3 y3 =	–1	1	–2	1	0
u4 y4 =	–1	0	1	–2	1	←
1 z =	16	–2	8	–2	0
			↑

На этом завершается этап построения начальной симплексной таблицы.