Лабораторная работа №2. Интерполирование функций

Цель работы: научиться интерполировать функции, используя для упрощения расчётов математические функции программы Microsoft Excel.

Задача работы: найти интерполяционный многочлен P₃(x) третьей степени функции y = f(x), заданной таблицей

x	-1	0	1	4
y	5	2	9	7

Ход работы

Для выполнения поставленных задач с помощью ЭВМ, целесообразно использовать табличный процессор Microsoft Excel 2007. С помощью различных математических формул, встроенных в данный программный продукт, возможно проводить математические расчеты с участием матриц. Данные для выполнения работы выбраны согласно необходимым критериям

Пусть функция y = f(x) задана таблицей своих значений (x_i,y_i). Это означает, что дискретному множеству аргумента {x_i} поставлено в соответствие множество значений функции {y_i} (i =0,1,2,...,n). Эти значения - либо результаты расчетов, либо экспериментальные данные.

Задача интерполирования обычно ставится в следующей форме: найти аналитическую зависимость определенного вида, которая принимает заданные значения в заданных узлах. Этот процесс может быть назван аналитической заменой. Классический численно-аналитический подход заключается в том, что табличная зависимость заменяется многочленом, с которым легко можно выполнить любые действия.

Определим многочлен P_n(x) = c₀xⁿ+ c₁x^n-1+ ... + c_n-1x+ c_n,

значения которого в точках x_i (i = 0,1,..., n) совпадают со значениями данной функции, т.е. P_n(x_i) = y_i(x_i). Геометрически это означает, что нужно найти кривую вида y = P_n(x) , график которой проходит через заданное множество точек.

Многочлен P_n(x) называется интерполяционным многочленом. Точки (x_i, y_i) называются узлами интерполяции. Доказано, что в указанной постановке задача интерполирования всегда имеет единственное решение.

Интерполяционные формулы обычно используются при нахождении неизвестных значений f(x) для промежуточных значений аргумента.

Поставленная задача отыскания многочлена P_n(x) может быть решена путем различных подходов. Из условия P_n(x_i) = y_i, имеем систему

, (i = 0,1,2,....,n).

Нахождение искомых коэффициентов сводится к решению системы (n+1) уравнений с (n+1) неизвестными. Эта система имеет единственное решение, если значения x_i отличны друг от друга.

Интерполяционный многочлен P₃(x) третьей степени функции y = f(x) имеет вид: P₃(x) = Ax³+Bx²+Cx+D.

Для нахождения коэффициентов A, B, C, D необходимо решить систему c помощью электронных таблиц. Задав матрицы Х и Y, следует воспользоваться функциями Excel.

Проделав необходимые манипуляции, получаем таблицу данных:

Затем, с помощью встроенной функции Excel для нахождения обратной матрицы Х МОБР, найдем обратную матрицу Х. Ее синтаксис таков: =МОБР(массив). Данная функция возвращает массив данных, но с уже измененными значениями. Затем с помощью функции МУМНОЖ, перемножаем обратную матрицу и значения матрицы Y. В результате получаем следующее:

Вот так будет выглядеть решение в режиме отображения формул:

Итак, решив данную систему, получаем искомый многочлен

P3(x) = – 0,95x³ + 0,083x² +4,1x +3