5.3.2. Многомерный поиск, использующий

производные

Одной из наиболее фундаментальных процедур минимизации дифференцируемой функции нескольких переменных является метод наискорейшего спуска (градиентный метод). Кроме того, существуют методы, использующие сопряженные направления и др.

Более подробно с методами оптимизации можно ознакомится в соответствующей литературе [2, 7, 11, 17, 30, 48, 51, 57, 64, 66].

5.4. Транспортная задача и задача о назначениях

Применение пакетов прикладных программ позволяет значительно упростить решение задачи, однако это предполагает предварительную формализацию модели программирования. В процессе решения большинства проблем данная задача является основной. При построении модели необходимо идентифицировать ее переменные и сформулировать систему ограничений.

Разновидностью задач линейного программирования является транспортная задача. При решении некоторых видов проблем распределения ресурсов использование специально созданных для этих целей алгоритмов упрощает процесс построения исходной модели. Целью является минимизация общей стоимостью транспортировки.

5.4.1. Транспортная задача и алгоритм ее решения

Данная проблема связана с распределением товаром между поставщиками (находящимися в пунктах производства) и потребителями (находящимися в пунктах назначения) таким образом, чтобы общая стоимость этого распределения была минимальной. Эта задача может быть решена либо с помощью методов линейного программирования, либо специального алгоритма решения транспортной задачи.

Пример. Компания осуществляет производство оконных рам на двух заводах – А и В. Поставкой оконного стекла на каждый из заводов занимаются две фирмы – Р и Q. На ноябрь заводу А требуется 5000 м² стекла, а заводу В – 3500 м². Фирма Р может поставить максимум 7500 м² стекла, а фирма Q – 4000 м². Табл. 4 содержит информацию о стоимости перевозки 1 м² стекла от каждого поставщика каждому заводу.

Как следует организовать поставку оконного стекла на заводы, чтобы общая стоимость перевозки была минимальной?

Таблица 4

Стоимость перевозки стекла, показатели спроса и предложения

Поставщик	Стоимость перевозки 1 м2 стекла на завод, рублей		Максимальный объем поставки, м2
	А	В
Р	4	4	7500
Q	3	2	4000
Спрос на стекло, м2	5000	3500

Решение. Сначала всегда полезно проверить, не существует ли очевидного решения. Теоретически было бы желательно использовать для перевозок только наиболее дешевые маршруты. Для обоих заводов Q был бы наиболее предпочтительным поставщиком, так как стоимость перевозки для него ниже, чем для Р. Однако максимальный объем перевозок для Q составляет только 4000 м² стекла, тогда как общий спрос равен 8500. Вероятно наиболее дешевым вариантом было бы использование маршрута Q  B стоимостью 2 рубля за единицу, удовлетворяющее весь спрос завода В (3500 м²). Остаток запаса (500 м²) следует направить из Q в А по стоимости 3 рубля за единицу. Остальной спрос завода А следует удовлетворить через поставщика Р, причем стоимость перевозки составит 4 рубля за единицу. Общая стоимость транспортировки при таком распределении будет иметь вид:

2 х 3500 + 3 х 500 + 4 х 4500 = 26500 рублей в месяц.

Однако нельзя доказать, что данное распределение ресурсов является наиболее экономичным.

Основные аспекты исследования транспортной модели состоят в следующем: доказательство того, что сформулированная задача имеет решение; обоснование положения о том, что это решение является оптимальным; изучение влияния на полученное решение любых изменений условий решения задачи.

Пусть фирма Р поставляет х м² стекла для завода А и у м² стекла для завода В. Тогда для полного удовлетворения спроса фирма Q должна поставлять остающиеся (5000 – х) м² стекла на завод А и (3500 – х) м² стекла на завод В. Цель состоит в минимизации общей стоимости транспортировки С (в рублях):

С = 4х + 4у + 3(5000 - х) + 2(3500-у),

следовательно, С = х + 2у + 22000, а целевая функция задачи имеет вид:

Z = C – 22000 = x – 2y.

Z принимает максимальное значение тогда, когда С минимальна. Значения х и у, которые минимизируют Z, минимизируют также и С. Минимизация целевой функции осуществляется в условиях следующей системы ограничений:

спрос завода А: х ≤ 5000 м² стекла;

спрос завода В: у ≤ 3500 м² стекла;

поставки из Р: х + у ≤ 7500 м² стекла;

поставки из Q: (5000 – x) + (3500 - y) ≤ 4000 м² стекла;

х, у ≥ 0.