5.2. Методы решения задач одномерной оптимизации

Задачи одномерной минимизации представляют собой простейшую математическую модель оптимизации, в которой целевая функция зависит от одной переменной, а допустимым множеством является отрезок:

f(x)  min(max),

x принадлежит [a, b].

Максимизация целевой функции f(x)  max эквивалентна минимизации противоположной величины -f(x)  min, поэтому можно рассматривать только задачи минимизации.

К математическим задачам одномерной оптимизации относят задачи с одной управляемой переменной, однако ее необходимость возникает иногда при решении более сложных задач. Так оптимизацию задачи с несколькими переменными можно проводить по одной из них, зафиксировав остальные (в случае многомерных задач иногда для того, чтобы проследить, как и именно данный параметр влияет на процесс). Найденное оптимальное значение фиксируется и проводится оптимизация по следующей переменной также при постоянных остальных и т.д., пока не будет получена оптимальная совокупность параметров.

Для решения задач минимизации функции f(x) на отрезке [a, b] на практике, как правило, применяют приближенные методы. Они позволяют найти решение этой задачи с необходимой точностью в результате определения конечного числа значений функции f(x) и ее производных в некоторых точках отрезка [a, b]. Методы, использующие только значения функции и не требующие вычисления ее производных, называются прямыми методами оптимизации. Основным достоинством прямых методов является то, что от целевой функции не требуется дифференцируемости, она может быть не задана в аналитическом виде (уравнения), а например, просто описываться таблицей экспериментальных значений. Необходимой является лишь возможность определения значений функции в заданных точках. Рассмотрим наиболее распространенные на практике прямые методы одномерной оптимизации.

5 .2.1. Метод перебора (сканирования)

Данный метод является простейшим и заключается в последовательном переборе всех значений a≤x≤b с шагом ε (погрешность решения) с вычислением критерия оптимальности R в каждой точке. Путем выбора наибольшего из всех вычисленных значений R и находится решение задачи. К достоинствам данного метода относится относительная простота (реализация с помощью простых циклов на языках программирования), возможность обнаружения глобального максимума критерия в случае многоэкстремальной функции. Недостатком является значительное количество повторных вычислений R(х), что, особенно при малом шаге ε и сложной функции, требует существенных затрат времени.

На практике часто реализуют одну из основных модификаций метода - последовательное уточнение решения, или сканирование с переменным шагом. При этом на первом этапе сканирование осуществляется с крупным шагом, затем отрезок, внутри которого получено наибольшее значение R(х), разбивается на более мелкие отрезки, ищется новый отрезок, внутри которого находится уточненное значение максимума. Он опять делится на более мелкие и т.д., до тех пор, пока величина отрезка, содержащего максимальное значение R(х), не будет меньше заданной погрешности. Главный недостаток этого варианта метода – возможность пропуска «острого» глобального экстремума R(х).