5. Введение в оптимизацию

5.1. Формулировка математической задачи

оптимизации

В общем виде математическую задачу оптимизации можно сформулировать следующим образом: минимизировать (максимизировать) целевую функцию с учетом ограничений в области допустимых значений.

Под минимизацией (максимизацией) функции n переменных f(x) = f(x₁,…,x_n) на заданном множестве U n-мерного пространства E_n понимается определение хотя бы одной из точек минимума (максимума) этой функции.

При записи математических задач оптимизации в общем виде обычно используется следующая символика:

f(x)  min (max),

x принадлежит U

где f(x) – целевая функция; U – допустимое множество значений, заданное ограничениями.

Параметры, доставляющие экстремум целевой функции при выполнении ограничений, находят с помощью какого-либо метода вычислительной (прикладной) математики. Эти методы разделяют на две большие группы:

1. аналитические методы - прямое исследование целевой функции на экстремум, метод множителей Лагранжа, метод вариационного исчисления;

2. численные методы - оптимальные параметры определяют с помощью некоторой итерационной процедуры (последовательными приближениями).

Например, один из аналитических способов обнаружения экстремума функции одной переменной у = f(х) состоит в измерении производной dу/dx. Необходимые и достаточные условия экстремума выражены соотношениями:

dу/dx = 0; d²у/dx² < 0 для максимума;

dу/dx = 0; d²у/dx² > 0 для минимума.

Для определения dу/dx используют измерение в достаточно близких смежных точках разностей Δx = x₂ – x₁ и Δу = у₂ – у₁ и вычисление их отношения Δу/Δx < dу/dx, а также другие методы.

Вместо трудно технически реализуемого измерения второй производной чаще всего делают проверку знака величины Δу в окрестности предполагаемого экстремума: у должно быть положительным в окрестности минимума и отрицательным в окрестности максимума. Однако одиночной проверкой можно пользоваться лишь в том случае, если известно, что экстремум существует, он единственный и в рабочей области нет точек перегиба функции. Если одно из этих условий не выполняется, поиск усложняется. Поэтому необходимо проверить значения Δу по обе стороны предполагаемого экстремума.

Е сли в рабочей области системы существует несколько локальных экстремумов, то упомянутые методы позволяют обнаружить лишь один из локальных экстремумов, именно тот, в окрестности которого оказалась исходная точка поиска. Для нахождения глобального экстремума, если априорной информации об его окрестности нет, приходится просматривать всю рабочую область, выявляя все локальные экстремумы и сравнивая их между собой.

Ввиду сложности целевых функций и ограничений в инженерных задачах оптимизации наибольшее применение находят численные методы. Среди них следует выделить методы:

- нелинейного программирования, разработанные для нелинейных целевых функций при линейных и (или) нелинейных ограничениях;

- линейного программирования¹¹, разработанные для линейных целевых функций при линейных ограничениях.

Применение линейного программирования оказалось плодотворным в различных задачах оптимального управления нединамическими системами (оптимальное размещение оборудования, организация транспортных потоков и др.).