2.1.2.2 Описание работы фильтра нижних частот в частотной области
Для расчёта частотной характеристики фильтра нижних частот воспользуемся формулой отношения напряжений, представленных в комплексной форме:
,
где
— сопротивление конденсатора;
— полное
сопротивление фильтра нижних частот;
— коэффициент
усиления;
— фазовый
сдвиг.
(2.3)
Определим
частоту среза
,
как частоту, на которой амплитуда
выходного сигнала ослабляется в
раз (на 3 дб).
Из
равенства
,
получим
,
где
— круговая частота.
Фазовый сдвиг φ на этой частоте в соответствии с формулой (2.3) составляет 45º.
Амплитудно-частотная и фазово-частотная характеристики фильтра нижних частот приведены на рисунке 2.3. Из рисунка 2.3 видно, что амплитудно-частотную характеристику можно разбить на две асимптоты:
1
|A|
= 1 = 0 дБ на частотах
;
2
|A|
≈ 1/(ω·R·C)
на частотах
;
3
|A|
=
= -3 дБ на частоте
.
Рисунок 2.3 — Частотные характеристики фильтра нижних частот
2.1.2.3 Фильтр нижних частот как интегрирующее звено
Из
рисунка 2.1 видно, что падение напряжения
на резисторе R
равно
.
Отсюда ток заряда конденсатора будет
равен
Если
обеспечить за счёт большой постоянной
времени τ выполнение условия
,
то получим
.
Отсюда
.
То есть RC-схема интегрирует входной сигнал по времени.
Условие равносильно тому, что ток i пропорционален входному напряжению. Если входным сигналом будет ток, то мы получим идеальный интегратор:
;
.
2.1.2.4 Длительность фронта импульса и частота среза фильтра нижних частот
Параметром, характеризующим фильтр нижних частот, является также длительность фронта импульса. Этот параметр показывает время, в течение которого выходное напряжение возрастёт от 10 до 90% конечного значения при подаче на вход фильтра нижних частот импульса прямоугольной формы. Из формулы (2.2) найдём
.
При
.
При
последовательном соединении нескольких
фильтров нижних частот, обеспечивающих
различные длительности фронта выходного
импульса
,
результирующую длительность фронта
импульса можно определить по следующей
формуле
.
Частота среза для этого случая приближённо определяется следующей формулой
.
Для случая n фильтров с равными частотами среза
.
2.1.3 Фильтр верхних частот
Фильтром верхних частот называется схема, которая без изменений передаёт на выход сигналы высоких частот, а на низких частотах обеспечивает затухание сигналов и опережение их по фазе относительно входных сигналов. На рисунке 2.4 приведена простейшая схема RC-фильтра верхних частот.
Рисунок 2.4 — Фильтр верхних частот
2.1.2.1 Описание работы фильтра верхних частот во временной области
Подадим на вход фильтра верхних частот перепад напряжения (рисунок 2.5), равный E (Ui = E).
Рисунок 2.5 — Реакция фильтра верхних частот на скачок напряжения
В соответствии со вторым законом Кирхгофа
,
где i — ток заряда конденсатора;
— напряжение
на конденсаторе.
Но так как заряд Q, накопленный на конденсаторе C, равен , то ток заряда конденсатора будет соответственно равен:
.
Отсюда
.
Решением полученного дифференциального уравнения будет следующее выражение
.
(2.4)
.
Для фильтра верхних частот постоянная времени также как и для фильтра нижних частот равна
.
Начальное
значение
находится из следующих предпосылок: в
момент, когда входное напряжение
изменяется скачкообразно, заряд
конденсатора не может измениться
мгновенно, то есть заряд начинает
действовать как источник напряжения
.
Поэтому выходное напряжение повторяет
скачок входного напряжения от нуля до
E,
а затем убывает по экспоненте, согласно
уравнению (2.4) до нуля. Если теперь входное
напряжение скачком изменится от E
до нуля, то
выходное напряжение скачком изменится
от нуля до минус E.
Следует отметить, что выходное напряжение
при этом получает отрицательное значение,
несмотря на то, что входное напряжение
остаётся положительным. Это обстоятельство
часто используется в схемотехнике.
Графики переходных процессов фильтра верхних частот приведены на рисунке 2.5.