Завдання №1.

Набрати функцію

1

Виконати пряме перетворення Лапласа. Виконати зворотне перетворення Лапласа, щоб одержати вихідну функцію.

Виконати пряме та зворотне Z-перетворення.

Завдання № 2.

Виконати пряме та зворотне перетворення Лапласа та Z-перетворення функцій

sin(*t) cos(*t)

Яка різниця між ними?

Завдання № 3.

Задано диференціальне рівняння

x-розв’язок диференціального рівняння, u(t)-незалежна (в даному випадку постійна) функція t, а –постійний коефіцієнт.

Перетворення Лапласа цього рівняння

s*x(s)+а*x(s)=b*u(s).

Передаточна функція

В технічних застосуваннях W(s)

називається передаточною функцією.

Звідки одержуємо зображення розв’язку рівняння

Зважуючи на те, що u(t)=1, та x(0)=0, знайти його зображення Лапласа, підставити його в останній із виразів, та знайти оригінал розв’язку диференціального рівняння за допомогою зворотного перетворення Лапласа.

При цьому прийняти a=-0.2, b=1, початкові умови вибрати самостійно.

Підстановкою одержаного рішення в диференціальне рівняння впевнитися, що воно його задовольняє.

Знайти графік розв’язку диференціального рівняння, як це зроблено у лабораторній роботі № 3.

Завдання № 4.

Теж саме виконати для диференціального рівняння, яке задано передаточною функцією

Прийняти u(t)=1. Початкові умови нульові.

Всі коефіцієнти вибрати довільними, але позитивними

Написати диференціальне рівняння, яке відповідає вказаній передаточній функції. Підстановкою одержаного рішення в диференціальне рівняння впевнитися, що воно його задовольняє.

Завдання № 5.

Задано різницеве рівняння

x[n+1]=a*x[n]+b*u[n] ,

де u[n]=1 для всіх n, x[0]=0.

Побудувати графік вирішення різницевого рівняння. При цьому має бути , якщо бажаєте отримати стійке вирішення.

Передаточна функція має вигляд

Знайти Z – зображення розв’язку різницевого рівняння, прийнявши b=1, коефіцієнт a вибирати послідовно: 0.5; 0.9; 1; 1.2

Знайти розв’язок цього рівняння методом оберненого Z-перетворення.

Для а=0.5 перевірити правильність одержаного розв’язку порівнянням з розв’язком, одержаним безпосередньо з різницевого рівняння (виконати обчислення не менше 4 точок розв’язку за допомогою калькулятора).

Контрольні запитання

1. Що таке неперервне перетворення Лапласа?

2. Який вигляд має параметр перетворення. З яких частин він складаєься?

3. Як позначають у літературі цей параметр?

4. Чим відрізняється Z-перетворення від перетворення Лапласа?

5. До яких функцій Z-перетворення застосовується?

Звіт повинен містити

1. Результати перетворення заданих функцій.

2. Графік вирішення різницевого рівняння.

Практична робота № 6

Тема :Передаточна функція. Амплітудна, частотна, фазова характеристики функцій.

Мета роботи: Ознайомитися з основами частотного представлення розв’язку диференціального рівняння за допомогою перетворення Фур'є.

Теоретичні відомості

У вирішені диференціального рівняння, наприклад,

є обов’язково входять вирази типу , де p – корені характеристичного поліному вихідного диференціального рівняння. З формулою Ейлера у разі одержимо

.

Звідки видно, що при вирішення диференціального рівняння є нестійким. Фізична система, яка йому відповідає зруйнується. Речові частини коренів характеристичного поліному показують ступінь затухання (наростання) вирішення диференціального рівняння.

Перетворення Фур'є є окремим випадком перетворення Лапласа. Його можна одержати шляхом заміни на .

У цьому випадку ступінь наростання (затухання) вирішення диференціального рівняння нульова. У вирішення залишаються лише гармонічні коливання. Це штучний прийом, який дозволяє оперувати лише гармонічними коливаннями для дослідження саме частотних властивостей вирішень диференціальних рівнянь та, відповідно, фізичних об’єктів, поведінка яких відповідає цим рівнянням.

Для визначення частотних властивостей вирішення диференціального рівняння необхідно виконати наступні дії:

1. Одержати перетворення Лапласа заданого диференціального рівняння.

2. Одержати передаточну функцію.

3. Від передаточної функції за Лапласом перейти до передаточної функції за Фур'є. Для цього треба виконати вказану раніше заміну. У результаті буде одержана комплексно значна функція W(jω), аргументом якої є частота. Це саме те, що нам треба, якщо ми цікавимося частотними властивостями вирішення диференціального рівняння.

4. Але з функцією, яка містить комплексно значний знаменник, не дуже зручно оперувати. Тому треба звільнитися від комплекснозначності знаменника. Це досягається дуже простим прийомом: множенням чисельника та знаменника на величину, яка є комплексно сполучений із знаменником. Нагадуємо, що комплексно сполучені величини відрізняються протилежними знаками їх уявних частин.

5. Розділити одержану функцію на речову та уявну частини.

6. Знайти амплітудно-частотну функцію A()як модуль одержаної у п. 5 передаточної функції за Фур'є. Зважте, що A() не є комплексною.

7. Побудувати графіки залежності уявної частини W(jω) тобто Im(W(jω))від її ж речової Re(W(jω))змінюючи ω з певним кроком. Ця характеристика називається амплітудно-фазовою, бо відображає як амплітуду, так і фазу коливань, як arctg(Im(W(jω))/ Re(W(jω)).

Сенс частотних характеристик полягає у тому, що вони віддзеркалюють поведінку вирішення диференціального рівняння у випадку, якщо є гармонійною функцією. При цьому для простоти обчислень та аналізу приймають амплітуду рівною одиниці. У цьому випадку ордината амплітудно-частотної характеристики є не що інше як відношення усталеної амплітуди гармонійних коливань вирішення диференціального рівняння до амплітуди . І так для кожної з частот. Амплітудно-фазова характеристика показує різницю фаз усталених гармонійних коливань вирішення диференціального рівняння та гармонійної функції .