Контрольні запитання

1. Скільки коренів має поліном 5-го ступеню?

2. Знайдено корінь деякого поліному 4-го ступеню. Він виявився ком­плексним. Скільки дійсних та комплексних коренів може мати та­кий поліном?

3. Знайдено корінь деякого поліному 4-го ступеню. Він виявився дійсним. Скільки дійсних та комплексних коренів може мати такий поліном?

4. Скільки коренів має поліном P ⁵=0?

5. Чим відрізняються власні числа матриці та корені її характе­ристичного поліному?

6. Що таке число обумовленості матриці? Дати визначення.

7. Що характеризує число обумовленості матриці системи лінійних алгебраїчних рівнянь?

Звіт повинен містити

1. Номер роботи, тему та результати досліджень відповідно до ходу роботи.

2. Відповіді на усі запитання у письмовій формі.

Практична робота №3

Тема: «Розв'язок диференціальних рівнянь»

Мета роботи: навчитися розв’язувати диференціальні рівняння, знаходити корені характеристичного поліному заданої системи рівнянь, будувати графіки розв'язку системи диференціальних рівнянь, визначати стійкість розв’язку.

Теоретичні відомості

Розв’язати диференціальне рівняння за наведеним нижче зразком.

Нумерація індексів починається з одиниці ( :=1)

Вектор початкових значень

Вектор правих частин cистеми рівнянь

,

де та — компоненти розв’язку системи рівнянь.

Далі прийняті наступні ідентифікатори для змінних:

t1, t2 — відповідно, початок та кінець інтервалу інтегрування системи диференціальних рівнянь;

N — кількість точок розв’язку на відрізку [t1,t2];

— функція MATHCAD, яка повертає вектор розв’язку системи диференціальних рівнянь, де:

t — значення часу t у диференціальному рівнянні;

— масив значень часу t у розв'язку рівняння;

— масив значень у розв'язку рівняння;

— масив значень у розв'язку рівняння;

Прийняті значення змінних

t1:=0 t2:=5 N:=15

i:=0..N — заголовок циклу типу for i:=0 to N do для побудови графіків розв’язку системи диференціальних рівнянь

— внутрішня функція MATHCAD, яка повертає вектор-функцію розв’язку системи диференціальних рів­нянь.

Одержання графіків двох компонент розв’язку системи диференціальних рівнянь

Для одержання графіків кількох функцій однієї змінної (у даному випадку аргументу t) необхідно спочатку ввести ім'я першої функції (наприклад, Yi,2), далі взяти у правий кут ім'я першої змінної та ввести латинську кому. Нижче ввести ім'я компоненти розв’язку (наприклад, Yi,3).

Рис.1. Графіки розв'язку системи диференціальних рівнянь

Хід роботи

1. Розв’язати наведену в інструкції систему диференціальних рівнянь, змінюючи кількість точок розв’язку на незмінному відрізку [t1,t2] у діапазоні N=[15, 20, 30, 50, 100]. Пояснити зміни, які відбуваються з розв’язком. Встановити (візуально), яке значення N достатнє.

2. Розв’язати систему диференціальних рівнянь за вказівкою викла­дача.

3. Записати рівняння Ейлера для системи рівнянь, заданої викла­дачем.

4. Знайти корені характеристичного поліному заданої системи рівнянь для усіх варіантів коефіцієнтів.

5. Визначити за значеннями коренів, які розв’язки є стійкими, а які ні.

6. Побудувати графіки розв'язок системи рівнянь у функції незалежної змінної t для усіх варіантів заданих коефіцієнтів.

7. Проаналізувати правильність висновків що до стійкості розв’язку системи рівнянь.

8. Одержати розв'язок системи диференціальних рівнянь у пара­метричній формі у вигляді графіків розв’язку системи рівнянь у функції однієї компоненти розв’язку від іншої (Yi,3 від Yi,2) для стійкого розв'язку.