2. Определение круга. Формула для вычисления площади круга (без вывода). Вывод формулы площади кругового сектора и кругового сегмента.

Определение 1. Кругом называется часть плоскости, ограниченная окружностью. Круг радиуса R с центром в точке О содержит точку О и все точки плоскости, находящиеся от точки О на расстоянии, не большем R.

Формула площади круга. Площадь S круга радиуса R выражается формулой S = R².

С ледствие 1. Площади кругов относятся как квадраты радиусов или диаметров.

Пусть S₁ и S₂ – площади кругов радиуса R₁ и R₂ соответственно. Тогда

Определение 2. Круговым сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

Формула площади сектора. Площадь сектора равна произведению длины его дуги на половину радиуса:

Из чертежа очевидно, что площадь сектора зависит от градусной меры центрального угла, образованного радиусами, ограничивающими данный сектор. Она может быть определена как соответвующая часть площади круга.

Площадь сектора с центральным углом в 1° составляет часть площади круга, а площадь сектора с центральным углом в ° составляет часть площади круга и определяется по формуле: Преобразуем полученную формулу:

Следует заметить, что площадь сектора однозначно определяется величиной центрального угла. Чем больше центральный угол сектора, тем больше длина дуги и, соответственно, площадь сектора.

О пределение 3. Сегментом называется часть круга, ограниченная дугой и хордой, соединяющими концы этой дуги.

Любая хорда разбивает круга на два сегмента.

Билет № 8.

1. Определение треугольника. Доказательство теоремы о сумме внутренних углов треугольника. Замечательные точки треугольника: центр тяжести, ортоцентр, центры вписанной, описанной и вневписанной окружностей.

Определение 1. Треугольником называется геометрическая фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки.

Элементы треугольника: 1) вершины: А, В, C; 2) стороны: АВ, ВC, АС; 3) углы: А, В,  C.

Обозначение треугольника: ∆ АВС.

Т еорема о сумме углов треугольника: Сумма внутренних углов треугольника равна 180°.

Дано: ∆АВС. Доказать:

Доказательство:

1. Проведем

Следствие 1. У любого треугольника хотя бы два угла острые.

Допустим, что у треугольника один острый угол или вообще нет острых углов. Тогда у этого треугольника есть хотя бы два угла, каждый из которых не меньше 90, а сумма этих углов не меньше 180. Это невозможно, так как сумма углов треугольника равна 180.

Следствие 2. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то и третьи углы этих треугольников равны.

Допустим, что у треугольников АВС и МРТ соответственно равны углы: А = М, В = Р.

Тогда С = 180 - (А + В), Т = 180 - (М + Р). Следовательно, С = Т.

Следствие 3. У прямоугольного треугольника сумма острых углов равна 90.

Т. к. у прямоугольного треугольника один из углов прямой, то сумма двух других его углов равна 180 - 90 = 90.

Следствие 4. У равнобедренного прямоугольного треугольника острые углы имеют градусную меру 45.

Т. к. у прямоугольного треугольника один из углов прямой, то сумма двух других его углов равна 180 - 90 = 90. Поскольку эти углы равны, то градусная мера каждого 90 : 2 = 45.

Следствие 5. У равностороннего треугольника все углы имеют градусную меру 60.

Так как у равностороннего треугольника все углы равны между собой, а их сумма равна 180, то градусная мера каждого угла равна 180 : 3 = 60.

Биссектрисой треугольника называется отрезок, делящий внутренний угол треугольника пополам и проведенный из вершины до пересечения с противоположной стороной.

Медианой треугольника называ­ется отрезок, соединяющий вершину треугольника с середи­ной противоположной стороны.

Высотой треугольника называ­ется отрезок перпендикуляра, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону.

Т очка пересечения биссектрис треугольника называется инцентром и является центром вписанной окружности.

Точка пересечения медиан треугольника называется центром тяжести.

Точка пересечения высот треугольника называется ортоцентром треугольника. В отличие от других замечательных точек треугольника ортоцентр треугольника может находиться не только внутри треугольника, но и снаружи (тупоугольный треугольник), или являться вершиной треугольника (прямоугольный треугольник).

Точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника, является центром описанной окружности.

Окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продолжения двух его других сторон, называется вневписанной окружностью. Точка пересечения биссектрис двух внешних углов треугольника и внутреннего угла, не смежного с ними, является центром описанной окружности.

Рассмотрим треугольник АВС и продолжим две его стороны АВ и АС. Проведем биссектрису угла А. Тогда всякая ее точка равноудалена от лучей АС и АВ. Проведем также биссектрису угла, смежного с углом В треугольника АВС. Точка пересечения этой биссектрисы и биссектрисы угла А равноудалена от стороны ВС и продолжения сторон АВ и АС, а значит, лежит на биссектрисе угла, смежного с углом С треугольника АВС.