1. Теорема синусов.

Т еорема синусов. Отношение двух сторон треугольника равно отношению синусов противолежащих им углов.

Доказательство:

1). Проведем из точки в перпендикуляр к стороне ас.

2). Из ABD (ADB = 90°): BD = AB∙sinA.

3). Из BCD (BDC = 90°): BD = BC∙sinC.

4). AB∙sinA = BC∙sinC.

Теорему синусов можно сформулировать и так: синусы углов треугольника пропорциональны противолежащим сторонам.

2. Построение прямой, параллельной данной; прямой, перпендикулярной данной.

Определение. Прямые называются взаимно перпендикулярными, если при их пересечении образуются четыре прямых угла.

Перпендикулярными также считаются лучи и отрезки, лежащие на перпендикулярных прямых.

П ерпендикулярность прямых a и b обозначается так: Угол между этими прямыми равен 90°, следовательно, если то

Рассмотрим прямую n и точку А, не лежащую на ней. Отрезок АВ называется перпендикуляром, проведенным из точки А к прямой n, если прямые АВ и n взаимно перпендикулярны. Точка В называется основанием перпендикуляра.

Теорема 1. Через всякую точку прямой можно провести прямую, перпендикулярную к данной прямой, и притом только одну.

Д ано: АВ – прямая,

Доказать:

1) существование перпендикуляра;

2) единственность перпендикуляра.

Доказательство:

1) От луча ОВ в заданную полуплоскость можно отложить согласно аксиоме откладывания углов. Докажем, что ОР – единственная прямая, перпендикулярная АВ.

2) Допустим, что существует луч ОС, причем и ОС лежит в одной полуплоскости с лучом ОР.

3) Тогда Но от данной полупрямой в данную полуплоскость согласно аксиоме откладывания углов можно отложить только один угол заданной градусной меры. Следовательно, луч ОР совпадает с лучом ОС, что и требовалось доказать.

Теорема 2. Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к данной прямой, и притом только один.

Дано: ВС – прямая,

Доказать:

1) существование перпендикуляра АС;

2) единственность перпендикуляра.

Доказательство:

1) От луча ВС в разные полуплоскости отложим угол АВС и равный ему угол Р₁ВС.

2) Перегнем плоскость по прямой ВС, так что точка А наложится на некоторую точку А₁ луча ВР₁. Проведем прямую АА₁, пересекающую ВС в точке О.

3) При перегибании плоскости АОВ совмещается с А₁ОВ  АОВ = А₁ОВ.

АОВ + А₁ОВ = 180 (смежные)  АОВ = А₁ОВ =90. АА₁  ВС.

Построение перпендикулярной прямой, проходящей через данную точку.

С лучай 1. Данная точка лежит на прямой.

Пусть дана прямая а и точка А, лежащая на ней.

1) Из точки А произвольным радиусом проводим окружность, пересекающую прямую а в точках В и С.

2) Из точек В и С проводим окружности радиусом ВС до пересечения в точке Т.

Прямая ТА – искомый перпендикуляр.

Рассмотрим ВСТ – равнобедренный по построению (ВТ = СТ). ТА –медиана по построению (АВ = АС)  АТ – высота  АТ  ВС.

Случай 2. Данная точка не лежит на прямой.

Пусть дана прямая а и точка А, не лежащая на ней.

1) Из точки А произвольным радиусом проводим окружность, пересекающую прямую а в точках В и С.

2) Из точек В и С проводим окружности радиусом ВС до пересечения в точке М.

Прямая МА – искомый перпендикуляр.

Рассмотрим АВС и ВМС.

АВ = ВМ – по построению;

АС = МС – по построению;

ВС – общая.

АВС = ВМС (по третьему признаку).

 АВС = МВС

 ВС – биссектриса равнобедренного треугольника АВМ

 ВС – высота  ВС  АМ.

Билет № 22.