1. Определение внешнего угла треугольника. Доказательство теоремы о свойстве внешнего угла треугольника.
Определение: Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-нибудь внутренним углом треугольника.
Построение внешнего угла: Чтобы построить внешний угол треугольника, нужно продлить соответственную сторону треугольника. При каждой вершине треугольника можно построить два внешних угла. Они равны между собой, так как являются смежными с одним и тем же углом.
Т
еорема:
Внешний угол треугольника равен
сумме двух внутренних углов треугольника,
не смежных с ним.
Дано:
∆АВС. Доказать:
Доказательство:
2. Нахождение значений синуса, косинуса, тангенса, котангенса углов в 30, 45, 60.
Р
ассмотрим
прямоугольный треугольник с острыми
углами 30
и 60.
Пусть катет треугольника, лежащий
против угла в 30,
равен АС = х. Тогда по теореме о
катете, лежащем против угла в 30,
гипотенуза треугольника равна АВ =
2х. Определим длину второго катета
по теореме Пифагора:
Используя определение тригонометрических функций острого угла в прямоугольном треугольнике, получим:
Аналогично определим тригонометрические функции угла 60.
Используя определение тригонометрических функций острого угла в прямоугольном треугольнике, получим:
Р
ассмотрим
равнобедренный прямоугольный
треугольник.
Его
острые углы равны между собой и
равны по 45.
Пусть катеты треугольника равны АС
= ВС = х. Определим длину гипотенузы
по теореме Пифагора:
Используя определение тригонометрических функций острого угла в прямоугольном треугольнике, получим:
Билет № 7.
1. Геометрическое место точек. Теоремы о геометрическом месте точек, равноудаленных от концов отрезка; равноудаленных от сторон угла.
Понятие геометрического места точек. Пусть геометрическая фигура имеет характерное свойство, определяющее, какие точки принадлежат фигуре. Тогда про эту фигуру говорят, что она является множеством точек, обладающих данным свойством (или геометрическим местом точек, обладающих данным свойством).
Определение 1. Прямая, перпендикулярная к отрезку и проходящая через его середину, называется серединным перпендикуляром к данному отрезку.
Х
арактерное
свойство серединного перпендикуляра
(прямая теорема).
Каждая точка серединного перпендикуляра
равноудалена от его концов.
Доказательство:
Пусть дан отрезок АВ и серединный перпендикуляр к нему n, пересекающий отрезок АВ в точке С. Возьмем произвольную точку D на серединном перпендикуляре n и соединим ее с концами отрезка АВ отрезками AD и BD.
Рассмотрим полученные треугольники AСD и ВCD.
AСD = ВCD = 90°;
АС = CВ (n – серединный перпендикуляр);
DС – общая;
AСD = ВCD (как прямоугольные по двум катетам).
АD = ВD.
Характерное свойство серединного перпендикуляра (обратная теорема). Точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на его серединном перпендикуляре.
Доказательство:
Пусть дан отрезок АВ и точка D, не лежащая на отрезке АВ и расположенная т. образом, что AD = BD.
Построим DC AB. Рассмотрим полученные треугольники AСD и ВCD.
AСD = ВCD = 90°;
АD = ВD (по условию); AСD = ВCD (прямоугольные по гипотенузе и катету). АС = СВ.
DС – общая;
Определение 2. Серединный перпендикуляр к отрезку – это геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка.
Определение 3. Луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла, называется биссектрисой угла.
Характерное свойство биссектрисы угла (прямая теорема). Каждая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон.
Д
оказательство:
Пусть дан угол со сторонами m и n и вершиной А, где b – биссектриса угла.
Возьмем произвольную точку D на биссектрисе b и опустим из нее перпендикуляры на стороны m и n. Рассмотрим полученные треугольники ABD и ACD.
ABD = ACD = 90°;
BAD = CAD (b – биссектриса);
AD – общая;
ABD = ACD (как прямоугольные по гипотенузе и острому углу).
BD = CD.
Характерное свойство биссектрисы угла (обратная теорема). Точка угла, равноудаленная от его сторон, лежит на биссектрисе угла.
Доказательство:
Пусть дан угол со сторонами m и n и вершиной А. Возьмем произвольную точку D внутри угла таким образом, что перпендикуляры, опущенные из нее на стороны m и n угла А равны. Рассмотрим полученные треугольники ABD и ACD.
ABD = ACD = 90°;
BD = CD; ABD = ACD (как прямоугольные по гипотенузе и катету).
AD – общая;
BAD=CAD b – биссектриса А.
Определение 4. Биссектриса угла – это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла.