1. Определение вписанного угла. Доказательство теоремы о градусной мере вписанного угла.

Определение. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.

Теорема о градусной мере вписанного угла. Вписанный угол измеряется половиной градусной меры дуги, на которую он опирается.

Д оказательство:

1). Одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности.

OA = OB = R  Δ АОВ – равнобедренный 

ОАВ = ОВА (углы при основании равнобедренного Δ АОВ).

СОВ – внешний угол Δ АОВ 

СОВ = ОАВ + ОВА = 2ОАВ.

СОВ – центральный угол СОВ = СВ

САВ = ОАВ = 0,5СОВ = 0,5СВ.

2). Центр окружности лежит внутри вписанного угла.

Внутри угла ВАС проведем луч АТ через центр окружности. Согласно аксиоме измерения углов

ВАС = ВАT + CАT = 0,5ВT + 0,5СT =

= 0,5(ВT + СT) = СВ.

3). Центр окружности лежит вне вписанного угла. Вне угла еас проведем луч ат через центр окружности. Согласно аксиоме измерения углов

ТАС = САЕ + ЕАT 

САЕ = ТАС − ЕАT = 0,5СT − 0,5ЕT =

= 0,5(СT − ЕT) = СЕ.

Следствия из теоремы о градусной мере вписанного угла.

Следствие 1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

ВАС = 0,5ВС; ВРС = 0,5ВС; ВАС = ВРС.

Следствие 2. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, - прямой.

Г радусная мера полуокружности равна 180°. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, равен 0,5∙180° или 90°.

Следствие 3. Равные дуги окружности стягиваются равными хордами.

Если AB = TE, то BOA = EOT.

Тогда  AOB =  EOT по первому признаку равенства:

Из равенства треугольников следует равенство их соответственных элементов.  ET = AB.

2. Вывод формул площади треугольника:

Л емма о площади прямоугольного треугольника. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

Доказательство: Пусть дан прямоугольный треугольник Т со сторонами a и b. Достроим его до прямоугольника Р со сторонами a и b, проведя через вершины его острых углов прямые, перпендикулярные катетам. Гипотенуза треугольника разбивает прямоугольник на два равных треугольника Т и Т₁. Поэтому

Т еорема о площади произвольного треугольника. Площадь треугольника равна половине произведения любой из его сторон и проведенной к ней высоты:

Доказательство:

1) Пусть  авс – остроугольный, тогда bn  ac лежит внутри треугольника.

2) Пусть  авс – тупоугольный с тупым углом с и bn  ac лежит внутри треугольника.

Вычисление площади треугольника через угол. Площадь треугольника равна половине произведения его сторон и синуса угла между ними:

Доказательство:

Следствие из теоремы о площади треугольника. Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как их основания.

Доказательство: Пусть даны треугольники с основаниями a и b и высотой h.

Билет № 6.