1. Определение параллельных прямых. Свойства параллельных прямых. Доказательство признаков параллельности прямых.

Определение 1. Две прямые, не имеющие общих точек и лежащие в одной плоскости, называются параллельными.

Если прямые a и b параллельны, то пишут: a II b.

Аксиома параллельных прямых: Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Пусть имеются две прямые а и b, а также прямая с, пересекающая прямые а и b в точках А и В соответственно. Прямая с называется секущей по отношению к прямым а и b.

П ри пересечении двух прямых третьей (секущей) образуются пары углов:

1 и 4, 2 и 3, 5 и 8, 6 и 7 – вертикальные. Два угла, стороны одного из которых являются продолжениями сторон другого, называются вертикальными. Вертикальные углы равны.

1 и 2, 2 и 4, 1 и 3, 3 и 4, 5 и 6, 7 и 8, 6 и 8, 5 и 7 – смежные. Два угла, у которых одна сторона общая, а две других являются дополнительными лучами, называются смежными. Сумма смежных углов равна 180. Угол, смежный с прямым, - прямой.

1 и 8, 2 и 7, 3 и 6, 4 и 5 – накрест лежащие, причем углы 1 и 8, 2 и 7 – внешние накрест лежащие; 3 и 6, 4 и 5 – внутренние накрест лежащие.

1 и 5, 2 и 6, 3 и 7, 4 и 8 – соответственные.

1 и 7, 2 и 8, 3 и 5, 4 и 6 – односторонние; причем углы 1 и 7, 2 и 8 – внешние односторонние; 3 и 5, 4 и 6 – внутренние односторонние.

Признаки параллельности прямых.

1. Две прямые, перпендикулярные к третьей прямой, параллельны.

2. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.

3. Если при пересечении двух прямых третьей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

4. Если при пересечении двух прямых третьей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

5. Если при пересечении двух прямых третьей односторонние углы в сумме составляют 180, то прямые параллельны.

Т еорема 1. Две прямые, перпендикулярные к третьей прямой, параллельны.

Д ано: а – прямая;

Доказать:

Доказательство:

1) Допустим, что Мысленно перегнем чертеж по прямой а так, чтобы верхняя часть чертежа наложилась на нижнюю.

2) Так как то луч РА наложится на луч РА₁. Аналогично луч QB наложится на луч QB₁.

3) Если то эта точка наложится на некоторую точку М₁, также лежащую на прямых АА₁ и ВВ₁, т. е.

4) Тогда через две точки М и М₁ проходят две прямые АА₁ и ВВ₁, что противоречит аксиоме существования прямых. Следовательно, прямые АА₁ и ВВ₁ не пересекаются, а значит, по определению параллельных прямых.

Т еорема 2. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой.

Дано: a II с; b II c. Доказать: a II b.

Доказательство:

Допустим, что a ∩ b = {M}. Тогда через точку М проходили бы две прямые (прямые а и b), параллельные прямой c. Это противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит, прямая a параллельна прямой b.

Теорема 3. Если при пересечении двух прямых третьей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Доказательство: Пусть при пересечении прямых a и b секущей АВ внутренние накрест лежащие углы равны. Докажем, что aIIb.

1)

2) Проведем через середину отрезка АВ. На прямой b от точки В отложим отрезок BH₁ = AH. Проведем отрезок ОH₁.

3) Рассмотрим ∆AHO и ∆BH₁O.

4) Из 5) Из

6) Из 7)

Т еорема 4. Если при пересечении двух прямых третьей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Дано:

Доказать:

Доказательство:

1)

2) и являются внутренними накрест лежащими

Т еорема 5. Если при пересечении двух прямых третьей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Дано:

Доказать:

Доказательство:

1)

2) и являются внутренними накрест лежащими

2. Взаимное расположение окружностей. Общая хорда пересекающихся окружностей. Общие касательные двух окружностей. Построение внешней общей касательной и внутренней общей касательной двух окружностей.

Определение 1. Если две окружности имеют одну общую точку, то они касаются; если две окружности имеют две общие точки, то они пересекаются.

Определение 2. Прямая, проходящая через центры окружностей, называется линией центров.

Теорема 1. Если две окружности имеют общую точку, расположенную вне линии центров, то они имеют еще и другую точку, симметричную первой относительно линии центров, т. е. пересекаются.

Л иния центров содержит в себе диаметры обеих окружностей, значит, она должна быть осью симметрии всей фигуры. Поэтому общей точке А, лежащей вне линии центров, должна соответствовать симметричная общая точка В, расположенная по другую сторону от оси симметрии (на одном перпендикуляре к линии центров и на равном расстоянии от нее).

Следствие. Общая хорда двух пересекающихся окружностей перпендикулярна линии центров и делится ею пополам.

Теорема. Если две окружности имеют общую точку на линии их центров, то они касаются.

Окружности не могут иметь другой общей точки вне линии центров, потому что в противном случае они имели бы еще третью общую точку по другую сторону от линии центров и, следовательно, должны были бы слиться. Они не могут иметь другой общей точки и на линии центров, так как, имея на этой линии две общие точки, они должны были бы иметь и общую хорду, соединяющую эти точки. Но хорда, проходящая через центры, должна быть диаметром; если же окружности имеют общий диаметр, то они сливаются в одну окружность.

О пределение. Касание двух окружностей называется внешним, если окружности расположены одна вне другой, и внутренним, если одна из окружностей лежит внутри другой.

Следствие. Две касающиеся окружности имеют общую касательную в точке касания.

О кружности не имеют общих точек. Здесь возможны три случая: 1) окружности лежат одна вне другой; 2) окружности лежат одна внутри другой; 3) окружности лежат одна внутри другой, их центры совпадают. Окружности, центры которых совпадают, называются концентрическими.

Определение 1. Прямая, касающаяся каждой из двух данных окружностей, называется их общей касательной. Если при этом центры окружностей лежат по одну сторону от касательной, то касательная называется внешней, а если по разные стороны – внутренней.

А В – внешняя касательная;

CD – внутренняя касательная.

Отрезки внешних касательных равны. Отрезки внутренних касательных равны. Две пересекающиеся окружности имеют только две общие внешние касательные; две окружности, касающиеся друг друга (изнутри или снаружи), имеют одну общую касательную; две окружности, лежащие внутри друг друга и не имеющие общих точек, не имеют общих касательных; две окружности, лежащие вне друг друга и не имеющие общих точек, имеют четыре общих касательных – две внешние и две внутренние.

Задачи на построение касательной.

З адача 1. Построить касательную к окружности, проходящую через данную точку.

Случай 1. Точка лежит на окружности. Провести радиус окружности в данную точку и построить перпендикуляр к радиусу. Согласно характерному свойству касательной радиус окружности, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.

Случай 2. Точка не лежит на окружности. Соединить точку с центром окружности, разделить полученный отрезок пополам. Из середины отрезка радиусом, равным половине длины отрезка, построить окружность, найти точки пересечения с данной окружностью. Эти точки и являются точками касания, так как О₁ВА = 90. Согласно следствию из теоремы о градусной мере вписанного угла это вписанный угол, опирающийся на диаметр.

Задачи на построение общих касательных.

Задача 2. Построить внешнюю общую касательную к двум окружностям.

А нализ. Предположим, что общая касательная построена. Пусть АВ – общая касательная, А и В – точки касания. По свойству касательной радиусы О₁А и О₂В перпендикулярны к общей касательной, а значит, параллельны между собой. Проведем из точки О₂ О₂С II BA.  O₁O₂C – прямоугольный с прямым углом при вершине С. Если мы опишем с центром в точке О₁ радиусом ОС окружность, то она будет касаться прямой О₂С в точке С. Радиус этой вспомогательной окружности равен разности радиусов данных окружностей.

Ход построения. Cтроим вспомогательную окружность радиуса R₁ – R₂ с центром в точке О₁. Строим касательную к вспомогательной окружности, проходящую через точку О₂ (способом, описанным раньше. Через точку касания проводим радиус и продлеваем его до встречи с данной окружностью. Через полученную точку касания А проводим прямую, параллельную СО₂. Полученная прямая является общей касательной двух данных окружностей.

Задача 3. Построить внутреннюю общую касательную к двум окружностям.

Анализ. Предположим, что общая касательная построена. Пусть АВ – общая касательная, А и В – точки касания. По свойству касательной радиусы О₁А и О₂В перпендикулярны к общей касательной, а значит, параллельны между собой. Проведем из точки О₂ О₂С II BA.  O₁O₂C – прямоугольный с прямым углом при вершине С. Если мы опишем с центром в точке О₁ радиусом О₁С окружность, то о на будет касаться прямой О₂С в точке С. Радиус этой вспомогательной окружности равен сумме радиусов данных окружностей.

Ход построения. Cтроим вспомогательную окружность радиуса R₁ + R₂ с центром в точке О₁. Строим касательную к вспомогательной окружности, проходящую через точку О₂ (способом, описанным раньше). Через точку касания проводим радиус и продлеваем его до встречи с данной окружностью. Через полученную точку касания А проводим прямую, параллельную СО₂. Полученная прямая является общей касательной двух данных окружностей.

Билет № 5.