2. Деление отрезка на n равных частей. Доказательство теоремы Фалеса.

Теорема Фалеса. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные между собой отрезки и на другой его стороне.

Д ано: AOB;

A₁B₁ II A₂B₂ II A₃B₃;

A₁A₂ = A₂A₃.

Доказать: В₁В₂ = В₂В₃.

Доказательство:

1. Дополнительное построение: Через точку в2 проведем прямую fe II oa, такую, что

2. Полученные четырехугольники fa1a2b2 и еa3a2b2 являются параллелограммами по определению (противоположные стороны попарно параллельны). По свойству параллелограмма:

3. Рассмотрим ∆ fb1b2 и ∆в2b3е.

4. Из ∆ FB₁B₂ = ∆В₂B₃Е  B₁B₂ = В₂B₃.

Замечание: В условии теоремы Фалеса вместо сторон угла можно взять любые две прямые, при этом заключение теоремы будет то же.

Обобщенная теорема Фалеса. Параллельные прямые, пересекающие две данные прямые и отсекающие на одной прямой равные отрезки, отсекают равные между собой отрезки и на другой прямой.

Д ано: AOB; A₁B₁ II A₂B₂;

A₁B₁∩AO={A₁}; A₁B₁∩BO={B₁};

A₂B₂∩AO={A₂}; A₂B₂∩BO={B₂}.

Доказать: OA₁:OA₂ = OВ₁:OB₂.

Доказательство:

1. Пусть существует отрезок длины х, который укладывается целое число раз на отрезке OA₁ и на отрезке OA₂. Тогда OA₁= nx,

ОA₂ = mx.

2. Разобьем отрезок oa2 на m равных частей длины х. При этом точка a1 будет одной из точек деления.

3. Проведем через точки деления прямые, параллельные прямой a1b1. Их получится столько, сколько точек деления на отрезке oa1.

4. По теореме Фалеса эти прямые разбивают отрезок OB₂ на равные отрезки некоторой длины у. Имеем на отрезке OB₂ m равных отрезков длины у (OB₂ = mу), точка B₁ является точкой деления отрезка OB₂ на равные части, на отрезке OB₁ укладывается n равных отрезков длины у (OB₁ = ny).

5. Тогда

Теорема доказана.

Обратная теорема Фалеса. Если на одной стороне угла от его вершины отложены равные отрезки ОА₁, A₁А₂, A₂А₃, ... и на другой его стороне также отложены соответственно равные отрезки ОВ₁, В₁B₂, B₂В₃, то прямые A₁В₁, А₂B₂, ... параллельны.

Дано: AOB; B₁B₂ =В₂B₃=…; A₁A₂ = A₂A₃=…. Доказать: А₁В₁ II A₂В₂….

Доказательство:

1. OA₁B₁~ OA₂B₂ (по пропорциональным сторонам и углу между ними).

O-общий. OA₂ = OA₁ + A₁A₂ = 2OA₁; OB₂ = OB₁ + B₁B₂ = 2OB₁.

2. Из подобия треугольников следует: OA₁B₁ =  OA₂B₂ – соответственные  A₁B₁ II A₂B₂.

3. Аналогично доказывается параллельность других прямых.

Задача на построение. Деление отрезка на n равных частей.

На основании теоремы Фалеса решается задача на деление заданного отрезка на n равных частей.

План построения:

1. Из одного конца отрезка (точки А) провести луч p под углом к отрезку (предпочтительно острым).

2. На луче p отложить n равных отрезков произвольной длины (AP₁ = P₁P₂ = P₂P₃ = … =P_n-1C).

3. Соединить конец последнего отрезка (точку С) с концом данного отрезка (точкой В).

4. Через точки деления отрезка АС (P₁, P₂, …, P_n-1) провести прямые, параллельные отрезку СВ, до пересечения с отрезком АВ в точках N₁, N₂, …, N_n-1.

Доказательство:

Так как отрезки, отложенные на луче р, равны (AP₁ = P₁P₂ = P₂P₃ = … =P_n-1C), то, согласно теореме Фалеса, на отрезке АВ отложились равные между собой отрезки (AN₁ = N₁N₂ = N₂N₃ = … =N_n-1B).

Билет № 3.