2. Теорема Менелая.

Теорема Менелая (прямая). Пусть прямая пересекает произвольный треугольник АВС, причем С₁ – точка пересечения со стороной АВ, А₁ – точка пересечения со стороной BC, В₁ – точка пересечения с продолжением стороны АC. Тогда имеет место равенство:

1 . Проведем луч сСК параллельно прямой АВ, причем

2. АС₁В₁СКВ₁ по следствию из первого признака подобия (СК II AB). 

3. BС₁A₁СКA₁ по первому признаку подобия, т. к. С₁А₁В = СА₁К (вертикальные), С₁ВА₁ = А₁СК (внутренние накрест лежащие при АВ II CK) 

4. Из пунктов 2 и 3 Разделив левую часть пропорции на правую, получим соотношение:

Теорема Менелая (обратная). Пусть дан треугольник АВС. Предположим, что точка С₁ лежит на стороне АВ, точка А₁ лежит на стороне BC, а точка В₁ лежит на продолжении стороны АC, причем про эти точки известно, что Тогда эти точки лежат на одной прямой.

1 . Заметим, что так как согласно условию Следовательно, прямые А₁С₁ и АС не параллельны.

2. Проведем через точки А₁ и С₁ прямую, которая пересечет АС в некоторой точке В₂:

3. Тогда для точек А₁, С₁ и В₂ выполнится прямая теорема Менелая: Но согласно условию теоремы

4. Из полученного равенства следует, что обе точки В₁ и В₂ лежат на продолжении отрезка АС за точку С.

5. Пусть СВ₁ = х, СВ₂ = у, АС = b. Тогда В₁А = x + b, B₂A = y + b. Из равенства двух отношений получим Точки В₁ и В₂ совпадают, а значит, точка В₁ лежит на прямой А₁С₁.

Менелай Александрийский (I—II в. н. э.) — греческий математик и астроном. Жил в Риме.

Билет № 2.

1. Определение равных треугольников. Сформулировать признаки равенства треугольников и доказать один из них.

О пределение. Треугольники называются равными, если их можно совместить наложением.

В таком случае у них попарно равны все соответственные элементы: АВ = А₁В₁; АС = А₁С₁; ВС = В₁С₁;

А = А₁; В = В₁; С = С₁.

Обозначение равенства треугольников: ∆ АВС = ∆ А₁В₁С₁.

При этом имеет значение порядок, в котором записываются вершины треугольника.

Равенство: ∆ АВС = ∆ А₁В₁С₁ означает, что А = А₁; В = В₁; С = С₁.

Соответственно равенство: ∆ АВС = ∆ MNQ означает, что в этих треугольниках А = M; В = N; С = Q.

Формулировки признаков равенства треугольников.

Первый признак. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Второй признак. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Третий признак. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство первого признака (по Погорелову).

Дано: АВС и А₁В₁С₁; А = А₁; АВ = А₁В₁; АС = А₁С₁. Доказать: АВС = А₁В₁С₁.

Д оказательство:

1. Пусть  А₁В₂С₂ – треугольник, равный  АВС, с вершиной В₂ на луче А₁В₁ и вершиной С₂ в той же полуплоскости относительно прямой А₁В₁, где лежит вершина С₁.

2. Так как А₁В₁ = А₁В₂, то вершина В₂ совпадает с вершиной В₁.

3. Так как В₁А₁С₁ =  В₂А₁С₂, то луч А₁С₂ совпадает с лучом А₁С₁.

4. Так как А₁С₁ = А₁С₂, то вершина С₂ совпадает с вершиной С₁.

5. Треугольник А₁В₁С₁ совпадает с треугольником А₁В₂С₂, а значит, равен треугольнику АВС.

По Атанасяну. Дано: АВС и А₁В₁С₁; А = А₁; АВ = А₁В₁; АС = А₁С₁. Доказать: АВС = А₁В₁С₁.

Доказательство:

1 . Совместим вершину А₁ А₁В₁С₁ с вершиной А АВС.

2. Наложим отрезок А₁С₁ на отрезок АС. Они совпадут, так как А₁С₁ = АС по условию.

3. Так как А = А₁ по условию, луч А₁В₁ накладывается на луч АВ.

4. Отрезки А₁В₁ и АВ совпадут, так как А₁В₁ = АВ по условию.

5. Вершина В₁ совпала с вершиной В, С₁ с вершиной С. Отрезки ВС и В₁С₁ совпали  ВС = В₁С₁.

6. Угол C = C₁ и В = В₁, так как они совмещаются наложением.

Доказательство второго признака (по Атанасяну).

Дано: АВС и А₁В₁С₁; А = А₁; С = С₁; АС = А₁С₁. Доказать: АВС = А₁В₁С₁.

Доказательство:

1. Совместим вершину А₁ А₁В₁С₁ с вершиной А АВС.

2. Наложим отрезок А₁С₁ на отрезок АС. Они совпадут, так как А₁С₁ = АС по условию.

3. Так как А = А₁ по условию, луч А₁В₁ накладывается на луч АВ.

4. Так как С = С₁ по условию, луч С₁В₁ накладывается на луч СВ.

5. Вершина В – общая точка сторон АВ и СВ – окажется лежащей как на луче А₁В₁, так на луче С₁В₁ и следовательно, совпадет с их общей точкой – точкой В₁.

6. Поэтому совместятся стороны АВ и А₁В₁ и СВ и C₁В₁. Треугольники АВС и А₁В₁С₁ полностью совместятся.

По Погорелову.

Дано: АВС и А₁В₁С₁; А = А₁; С = С₁; АС = А₁С₁. Доказать: АВС = А₁В₁С₁.

Д оказательство:

1. Пусть  А₁В₂С₂ – треугольник, равный треугольнику АВС, с вершиной В₂ на луче А₁В₁ и вершиной С₂ в той же полуплоскости относительно прямой А₁В₁, где лежит вершина С₁.

2. Так как А₁В₁ = А₁В₂, то вершина В₂ совпадает с вершиной В₁.

3. Так как В₁А₁С₁ =  В₁А₁С₂ и А₁В₁С₁ =  А₁В₁С₂, то луч А₁С₂ совпадает с лучом А₁С₁, а луч В₁С₂ совпадает с лучом В₁С₁.

4. Отсюда следует, что вершина С₂ совпадает с вершиной С₁.

5. Треугольник А₁В₁С₁ совпадает с треугольником А₁В₂С₂, а значит, равен треугольнику АВС.

Доказательство третьего признака.

Дано: ∆АВС; ∆А₁В₁С₁; АВ = А₁В₁; ВС = В₁С₁; АС = А₁С₁. Доказать: ∆АВС = ∆А₁В₁С₁.

Доказательство:

1. Дополнительное построение. Приложим ∆АВС к ∆А₁В₁С₁ так, чтобы вершина А совместилась с вершиной А₁ и вершина С совместилась с вершиной С₁, а вершина В и вершина В₁ оказались по разные стороны от отрезка АС.

2. Возможны три случая: 1) луч ВВ₁ проходит внутри угла АВС; 2) луч ВВ₁ совпадает с одной из сторон угла АВС; 3) луч ВВ₁ проходит вне угла АВС.

3. Рассмотрим первый случай. Так как АВ = А₁В₁, то ∆АВВ₁ – равнобедренный 

 АВВ₁ = АВ₁В (углы при основании). Так как СВ = СВ₁, то ∆СВВ₁ – равнобедренный  СВВ₁ = СВ₁В (углы при основании).

4. Рассмотрим второй случай. Пусть точка СВВ₁. Т. к. АВ = А₁В₁, то ∆АВВ₁ – равнобедренный   АВВ₁ = АВ₁В (углы при основании). Так как СВ = СВ₁, то в ∆АВВ₁ АС – медиана.

3. Рассмотрим третий случай. Так как АВ = А₁В₁, то ∆АВВ₁ – равнобедренный 

 АВВ₁ = АВ₁В (углы при основании). Так как СВ = СВ₁, то ∆СВВ₁ – равнобедренный  СВВ₁ = СВ₁В (углы при основании).