1. Теорема косинусов.

Теорема косинусов. В каждом треугольнике квадрат любой его стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон и косинуса угла между ними.

Д оказательство:

1). Проведем из точки В перпендикуляр к стороне АС. Пусть АВ = с; ВС = а; BD = h_c; AD = b_c; DC = h_a.

2). Из ABD (ADB = 90°):

3). Из BCD (BDC = 90°):

2. Построение вневписанной окружности. Соотношения между радиусами вписанной, описанной и вневписанной окружностей.

Билет № 23.

1. Теорема об отношении площадей треугольников, имеющих по одному равному углу. Вывод формул площадей треугольников через радиусы вписанной и описанной окружностей.

С ледствие из теоремы о площади треугольника. Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как их основания.

Доказательство: Пусть даны треугольники с основаниями a и b и высотой h.

Теорема об отношении площадей треугольников. Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы:

Доказательство:

1. Наложим ∆ А₂В₂С₂ на ∆ А₁В₁С₁ так, чтобы совпали равные углы А₁ = А₂ .

2. ∆ А1в1с2 и ∆ а1в1с1 имеют общую высоту в1н, следовательно

3. ∆ А1в2с2 и ∆ а1в1с2 имеют общую высоту с2к, следовательно

4. Найдем отношение площадей ∆ а1в1с1 и ∆ а2в2с2

2. Описанный четырехугольник. Свойство сторон описанного четырехугольника. Формула площади вписанного четырехугольника Частный случай формулы (диагонали взаимно перпендикулярны).

Так как центр окружности, вписанной в четырехугольник, равноудален от его сторон, то он принадлежит биссектрисе каждого из его углов. Следовательно, биссектрисы углов описанного четырехугольника пересекаются в одной точке — центре вписанной в него окружности. Обратно, если биссектрисы трех углов четырехугольника пересекаются в одной точке, то эта точка будет равноудалена от всех его сторон, т. е. будет центром вписанной в этот четырехугольник окружности. Итак, для того, чтобы в выпуклый четырехугольник можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы биссектрисы трех его углов пересекались в одной точке.

Другой критерий описанного четырехугольника связан с его сторонами.

Т еорема. Для того, чтобы в выпуклый четырехугольник можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы суммы его противоположных сторон были равны.

Необходимость этого условия следует из равенства отрезков касательных к окружности, проведенных из одной точки:

АB + CD = (x + y) + (z + t) = (y + z) + (x + t) = BC + AD.

Теорема (обратная). Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Пусть четырехугольник ABCD выпуклый и

AB + CD = BC +AD.

Докажем, что в него можно вписать окружность.

Действительно, биссектрисы углов ABC и BAD всегда пересекаются, так как сумма этих углов меньше 360◦, значит, сумма их половин меньше 180◦. Точка пересечения биссектрис этих углов есть центр окружности, касающейся сторон AB, BC и AD четырехугольника Покажем, что четвертая сторона CD также касается этой окружности.

В озможны два предположения: