4). Докажем равенство сторон ав и а1в1.

5). Докажем равенство треугольников  авс и  а1в1с1.

6). Таким образом, треугольник авс – прямоугольный с прямым углом с.

На основании доказанной теоремы можно по известным длинам сторон треугольника определять вид треугольника в зависимости от величин его углов.

1. Если АВ² = АС² + ВС², то треугольник АВС прямоугольный с прямым углом С.

2. Если АВ² > АС² + ВС², то треугольник АВС тупоугольный с тупым углом С.

3. Если АВ² < АС² + ВС², причем АВ – наибольшая из сторон треугольника АВС, то треугольник АВС остроугольный, а угол С – самый большой в треугольнике.

Прямоугольные треугольники, у которых длины сторон выражаются целыми числами, называются пифагоровыми треугольникам. Прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4 и 5 называется египетским.

2. Доказательство теоремы о градусной мере угла между хордой и касательной, проведенной через ее конец. Построение касательной к окружности, проходящей через данную точку, не лежащую на окружности.

Т еорема об измерении угла между хордой и касательной. Градусная мера угла, образованного хордой и касательной к окружности, проведенной через один конец хорды, равна половине градусной меры дуги, заключенной между сторонами угла.

Дано: О – окружность; AB – касательная, ВС – хорда.

Доказать:

Доказательство: ВО  АВ - (по св-ву касательной).

З адача о построении касательной. Построить касательную к окружности, проходящую через данную точку, не лежащую на окружности.

Соединить точку с центром окружности, разделить полученный отрезок пополам. Из середины отрезка радиусом, равным половине длины отрезка, построить окружность, найти точки пересечения с данной окружностью. Эти точки и являются точками касания, так как О₁ВА = 90. Согласно следствию из теоремы о градусной мере вписанного угла это вписанный угол, опирающийся на диаметр.

Билет № 20.

1. Определение трапеции. Вывод формулы площади трапеции. Построение трапеции по ее основаниям и боковым сторонам.

Определение 1. Трапецией называется четырехугольник, две стороны которого параллельны, а две другие – непараллельны.

Параллельные стороны трапеции называются основаниями, а непараллельные стороны – боковыми.

Определение 1. Высотой трапеции называется общий перпендикуляр ее оснований (или прямых, содержащих основания).

Теорема о площади трапеции. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований и высоты:

Д оказательство:

Трапеция, боковые стороны которой равны, называется равнобедренной. Трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям, называется прямоугольной.

2. Доказательство теорем об углах, образованных пересекающимися хордами; об углах, образованных секущими, проведенными к окружности из одной точки.

Т еорема 1 (о градусной мере угла между двумя пересекающимися хордами). Угол между двумя пересекающимися хордами имеет градусную меру, равную полусумме градусных мер тех дуг, на которые опирается этот угол и угол, вертикальный к нему.

Доказать:

Доказательство:

Способ 1. Рассмотрим CEB.

Способ 2. Построим AG II CD.

Заметим, что  DG =  AC – симметричны относительно центра окружности.

Теорема 2 (о градусной мере угла, образованного двумя секущими). Угол, образованный двумя секущими, пересекающимися в какой-либо точке вне круга, имеет градусную меру, равную половине разности градусных мер большей и меньшей дуг, высекаемых этими секущими на окружности и заключенными между ними.

Д оказать:

Доказательство:

Способ 1.

Рассмотрим  CMB.

Способ 2.

Проведем BE II MC.

Заметим, что  AB =  CE – симметричны относительно центра окружности.

Билет № 21.