1. Вывод формул площади параллелограмма:

Теорема 1. Площадь параллелограмма равна произведению его стороны и проведенной к ней высоты:

Д оказательство:

Теорема 2. Площадь параллелограмма равна произведению его сторон и синуса угла между ними:

Д оказательство:

Теорема 3. Площадь выпуклого многоугольника равна половине произведения его диагоналей и синуса угла между ними.

Д ано: ABCD – выпуклый четырехугольник;

АС и BD – диагонали; AC∩BD = {O}; AOB =.

Доказать:

Доказательство:

2. Доказательство теоремы об отношении отрезков медиан, на которые они делятся центром тяжести.

Теорема о свойстве медиан треугольника. Три медианы пересекаются в одной точке. Эта точка делит каждую из медиан в отношении 2:1, считая от вершины.

Д оказательство:

1). Медиана АА₁ пересекает АВ в точке А₁. Медиана ВВ₁ пересекает АС в точке В₁. Тогда А₁В₁– средняя линия.

2). Рассмотрим  АОВ и  А₁ОВ₁.

3). Из подобия треугольников:

4). Аналогично доказывается, что точка О делит медиану СС₁ в отношении 2:1.

Билет № 19.

1. Теорема Пифагора и обратная ей. Пифагоровы тройки чисел, египетский треугольник.

Т еорема Пифагора (прямая). В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Если Т – прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой с, то теорема утверждает, что где это численные значения площадей квадратов со сторонами a, b и с. Поэтому равенство означает, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Пифагор, именем которого названа эта теорема, жил в VI веке до н. э. Теорема, носящая его имя, была известна еще в Древнем Египте и Вавилоне, но только как факт, выведенный из измерений. Пифагор нашел доказательство этой теоремы.

Доказательство:

1. Построим квадрат Q со стороной a + b. На сторонах квадрата Q возьмем точки А, В, С, D так, чтобы отрезки АВ, ВС, СD и AD отсекали от квадрата Q четыре прямоугольных треугольника Т₁, Т₂, Т₃, Т₄ с катетами а и b.

2. Все треугольники т1, т2, т3, т4 равны треугольнику т по двум катетам. Следовательно, их гипотенузы равны гипотенузе треугольника т, т. Е. Отрезку с.

3. Пусть  и  - величины острых углов треугольника Т. Тогда  +  = 90. Угол  при вершине А четырехугольника Р вместе с углами  и  образует развернутый угол   +  +  = 180. 

 = 180 ̶  ̶  = 180 ̶ 90 = 90.

4. Четырехугольник р – равносторонний, все его углы прямые  квадрат.

5. S(Q) = 4S(T) + S(P);

Теорема Пифагора (обратная). Если квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то этот треугольник прямоугольный.

Доказательство:

1). Пусть в  АВС АВ² = АС² + ВС². Докажем, что угол С – прямой.

2). Рассмотрим прямоугольный  А₁В₁С₁ с прямым углом С₁, у которого А₁С₁ = АС, В₁С₁ = ВС.

3). В  А₁В₁С₁ по теореме Пифагора (А₁В₁)² = (А₁С₁)² + (В₁С₁)². Следовательно (А₁В₁)² = АС² + ВС².