2. Критерий пересекаемости трех чевиан треугольника в одной точке (прямая и обратная теоремы Чевы).

Теорема Чевы является критерием пересечения трех прямых в одной точке и потому находит широкое применение в задачах на доказательство и вычисление.

Теорема Чевы (прямая). Пусть на прямых AB, BC, CA, определяющих треугольник ABC, даны точки C₁, A₁, B₁. Для того, чтобы прямые AA₁, BB₁, CC₁ пересекались в одной точке, необходимо и достаточно, чтобы

Н е о б х о д и м о с т ь.

Пусть прямые AA₁, BB₁, CC₁ пересекаются в точке O. Проведем через вершину B треугольника ABC прямую n, параллельную прямой AC, и продлим отрезки AA₁ и CC₁ до пересечения с этой прямой в точках Q и P соответственно.

ВA₁QAA₁C 

PC₁BACC₁ 

OAВ₁  OВQ 

OСВ₁  OВР 

Д о с т а т о ч н о с т ь.

Пусть прямые AA₁ и BB₁ пересекаются в точке O. Проведем через вершину С и точку О прямую n, пересекающую сторону АВ треугольника ABC в точке С₂.

Так как прямые AA₁, BB₁, CC₂ пересекаются в точке O, то на основании теоремы Чевы: С другой стороны Следовательно, Точка C₁ совпадает с точкой C₂.

Прямые AA₁, BB₁, CC₁ называются чевианами.

Теорема Чевы (обратная). Пусть точки A₁, B₁, C₁ лежат соответственно на сторонах ВС, AС, АB треугольника ABC, причем Тогда отрезки AA₁, BB₁, CC₁ пересекаются в одной точке.

Доказательство.

Пусть О – точка пересечения отрезков AA₁ и BB₁, а прямая CО пересекает сторону АВ в некоторой точке C₂. Докажем, что С₁ = С₂.

Применим прямую теорему Чевы к точкам А₁, В₁, С₂.

Тогда

Значит, точки С₁ и С₂ делят отрезок в одном и том же отношении и потому совпадают.

Билет № 17.

1. Вывод формулы Герона.

Т еорема Пифагора позволяет решить две важные задачи:

1) Зная стороны треугольника, найти его высоты;

2) Выразить площадь треугольника через его стороны.

В АВС: ВС = а; АВ = с; АС = b;

AE  BC, AE = h_a; AE∩BC = {E};

CE = x; BE = a─x.

По теореме Пифагора из САЕ:

По теореме Пифагора из ВАЕ:

По аналогии запишем:

Найдем площадь АВC:

2. Свойство чевианы о разбиении площади треугольника на части. Теоремы о «ласточкином хвосте».

П ервая теорема. Пусть в треугольнике АВС проведены три чевианы АА₁, ВВ₁, СС₁, пересекающиеся в точке О. Тогда где

Доказательство:

1.

2.

3.

4. Свойство пропорции:

5. Используя свойства пропорции и перечисленные в пунктах 1-3 сведения, получим:

Вторая теорема. Пусть в треугольнике АВС проведены три чевианы АА₁, ВВ₁, СС₁, пересекающиеся в точке О. Тогда где

Доказательство:

1.

2. Используя свойства пропорции, получим:

Т еорема Ван-Обеля. Пусть в треугольнике АВС проведены три чевианы АА₁, ВВ₁, СС₁, пересекающиеся в точке О. Тогда

Доказательство:

1. По второй теореме о ласточкином хвосте

2. По первой теореме о ласточкином хвосте

Следовательно

С ледствия теоремы Ван-Обеля:

1. Теорема о точке пересечения медиан треугольника.

Доказательство:

2. Теорема о точке пересечения биссектрис треугольника.

Доказательство:

Билет № 18.