1) Точка c находится вне окружности,

2) Она лежит внутри окружности.

При первом предположении и условии ∠A > 90 стороны BC и DC пересекают окружность вторично в своих внутренних точках E и F. Тогда для вписанного четырехугольника ABED по необходимому условию будет ∠A+∠BED=180. По теореме о внешнем угле треугольника ∠BED > ∠C и потому ∠A+∠C < 180, что противоречит условию. Второе предположение аналогично приводит к противоречию ∠A + ∠C > 180. Доказательство закончено.

Доказательство:

1 ) Проведем окружность через три вершины четырехугольника A, B, D и докажем, что она проходит также через вершину С. Пусть это не так. Тогда вершина С лежит либо вне круга, либо внутри круга. Пусть точка С лежит вне круга. Тогда

Это противоречит условию теоремы. Следовательно, точка С не может лежать вне окружности.

Пусть точка С лежит внутри круга. Тогда

Это противоречит условию теоремы. Следовательно, точка С не может лежать внутри окружности.

Вывод: Чтобы выполнялось условие теоремы, точка С должна лежать только на окружности, а четырехугольник ABCD должен быть вписанным в окружность.

Билет № 15.

1. Определение средней линии треугольника и трапеции. Доказательство теорем о средней линии треугольника и трапеции.

Определение 1. Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется средней линией треугольника.

Свойство средней линии треугольника. Средняя линия треугольника параллельна основанию треугольника и равна его половине.

Дано: ABC; MN, ND, MD – средние линии. Доказать: MN II AC;

Доказательство:

1. Продолжим MN за точку N и на продолжении отложим PN = MN.

2. Рассмотрим mbn и npc.

BN = NC (по определению средней линии);

MN = NP (по построению);  MВN = NPC (по 1 признаку)  .

MNВ = PNC (вертикальные);

3. BMN = NPC (внутренние накрест лежащие)  АВ II PC.

4. CP = MB (из равенства треугольников);

AM = MB (по определению средней линии);  CP = АM.

5. АM II PC; AM = PC  AMPC – параллелограмм  AC = MP; AC II MP.

6. MP = 2MN (по построению)  MN = 0,5AC.

7. AC II MP; MNMP;  MN II AC.

Определение 2. Трапецией называется четырехугольник, две стороны которого параллельны, а две другие – непараллельны.

Параллельные стороны трапеции называются основаниями, а непараллельные стороны – боковыми.

Трапеция, боковые стороны которой равны, называется равнобедренной. Трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям, называется прямоугольной.

Определение 3. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется средней линией трапеции.

Свойство средней линии трапеции. Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции и равна их полусумме.

Дано: ABCD – трапеция; AD II BC; MN – средняя линия.

Доказать: MN II AD; MN II BС;

Доказательство:

Рассмотрим NВС и NDE.

СN = ND (по условию); ВNС = END (вертикальные);

BСN = NDE (внутренние накрест лежащие при BC II AD и секущей CD);

• NВС и NDE (по 2 признаку)  BN = NE; BC = DE.

Рассмотрим AВE. MN – средняя линия MN II AD; MN=0,5AE.

AE = AD + DE = AD + BC 