2. Выражение радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, через его стороны (вывод формулы).

Т еорема о сумме катетов прямоугольного треугольника. Сумма катетов прямоугольного треугольника равна разности гипотенузы и диаметра вписанной окружности.

Доказательство:

По свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки:

AN = AP, BP = BT, CN = CT = r.

AC = AN + r, BC = BT + r, AB = AP + PB.

AC + BC = AN + BT + 2r = AB + 2r.

a + b =c + 2r.

Билет № 14.

1. Построение отрезков

Задача о построении гипотенузы прямоугольного треугольника.

Даны отрезки a и b. Построить отрезок

1. Строим прямой угол с вершиной О.

2. Откладываем на одной стороне угла отрезок OA = a, а на другой стороне угла отрезок ОB = b.

3. Соединяем концы А и В полученных отрезков.

4. Полученный отрезок АВ – искомый. АВ = x.

Проверка: По теореме Пифагора

Задача о построении четвертого пропорционального отрезка.

Даны отрезки a, b и c. Построить отрезок

1. Строим любой неразвернутый угол с вершиной О.

2. Откладываем на одной стороне угла отрезки OA = a и АB = b.

3. Откладываем на другой стороне угла отрезок OС = с.

4. Проводим прямую АС.

5. Через точку В проводим параллельную ей прямую, которая пересекает вторую сторону угла в точке D.

6. Полученный отрезок OD – искомый. OD = x.

Проверка: По теореме о пропорциональных отрезках

Замечание. Построенный отрезок х называется четвертым пропорциональным отрезком, так как его длина является четвертым членом пропорции

2. Определение вписанного четырехугольника. Доказательство теоремы о свойстве углов вписанного четырехугольника.

Так как центр описанной около четырехугольника окружности равноудален от его вершин, то он принадлежит серединным перпендикулярaм к его сторонам и диагоналям. Обратно, если серединные перпендикуляры к трем сторонам четырехугольника пересекаются в одной точке, то эта точка будет равноудалена от всех его вершин и поэтому будет центром описанной около него окружности. Итак, для того, чтобы около четырехугольника можно было описать окружность, необходимо и достаточно, чтобы серединные перпендикуляры к трем его сторонам пересекались в одной точке.

Другой критерий вписанного четырехугольника связан с его углами.

Т еорема. Для того, чтобы около четырехугольника можно было описать окружность, необходимо и достаточно, чтобы сумма его противоположных углов была равна 180 (т. е. суммы его противоположных углов были равны).

Необходимость этого условия очевидна: сумма углов A и C вписанного четырехугольника ABCD измеряется полусуммой дуг BCD и BAD, составляющих полную окружность, и потому равна 180.

Доказательство:

По теореме о градусной мере вписанного угла в окружности

Т еорема (обратная). Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180, то около него можно описать окружность.

Достаточность.

Пусть ∠A + ∠C = 180◦. Тогда эти углы не могут быть оба острыми или оба тупыми. Для определенности будем считать, что ∠A > 90◦. Опишем около треугольника ABD окружность и докажем, что точка C ей принадлежит. Для этого необходимо опровергнуть два возможных предположения: