2. Точка о пересечения внешних биссектрис равноудалена от прямых, содержащих стороны ab и bc. Поэтому через нее проходит биссектриса внутреннего угла a.

Окружность с центром О и радиусом r, равным расстоянию от точки О до стороны касания треугольника ABC, касается стороны BC в ее внутренней точке N и продолжений сторон AC и AB в точках K и P. Она называется вневписанной окружностью треугольника.

Всего существует три вневписанные окружности треугольника, соответствующие трем его сторонам.

Билет № 12.

1. Определение прямоугольника. Доказательство свойств и признаков прямоугольника.

О пределение 1. Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

Так как прямоугольник является параллелограммом, то он обладает всеми свойствами параллелограмма.

Особое (характерное) свойство прямоугольника. Диагонали прямоугольника равны.

Дано: ABCD – прямоугольник. Доказать: AС = BD.

Доказательство: Рассмотрим АВС и ВСD.

ВС – общая;

АВ = СD (по свойству параллелограмма);

АС = ВD (по условию);

АВС = ВСD = 90° (по свойству прямоугольника).

 АВС = ВCD (как прямоугольные по двум катетам).  АС = ВD.

Признак прямоугольника. Параллелограмм, диагонали которого равны, является прямоугольником.

Д ано: ABCD – параллелограмм; AC = BD.

Доказать: ABCD – прямоугольник.

Доказательство: Рассмотрим АВС и ВСD.

ВС – общая;

АС = ВD (по условию);

АВ = СD (по свойству параллелограмма).

 АВС = ВCD (по 3 признаку).  АВС = ВСD.

АВС + ВСD = 180°  АВС = ВСD = 90°.

В = D и А = С (по свойству параллелограмма).

 ABCD – прямоугольник.

2. Теорема Птолемея.

Вписанный четырехугольник обладает замечательным свойством, найденным древнегреческим астрономом и математиком Клавдием Птолемеем.

Теорема Птолемея. Во всяком четырехугольнике, вписанном в окружность, произведение диагоналей равно сумме произведений его противоположных сторон.

Д ано: ABCD – вписанный четырехугольник.

Доказать: AСBD = АВCD + BCAD.

Доказательство:

1. Дополнительное построение. Из вершины А проведем отрезок АК таким образом, что точка К лежит на диагонали BD и САD = ВAK.

2. Рассмотрим треугольники вка и сda.

АBK = АCD = 0,5AD (вписанные);

ВАK = САD (по построению); 

BKA  CDА (по двум углам); 

или ACBK = ABСD.

3. Рассмотрим треугольники akd и abc.

АCB = АDK = 0,5AB (вписанные);

ВАC = KАD (по построению); 

 AKD  ABC (по двум углам); 

или ACDK = ADBС.

4. Сложим полученные равенства, получим: ACBK + ACDK = ABСD + ADBС.

AC(BK + DK) = ABСD + ADBС. AСBD = АВCD + BCAD.

Билет № 13.

1. Определение ромба. Доказательство свойств и признаков ромба. Вывод формулы площади ромба

Определение 1. Ромбом называется параллелограмм, все стороны которого равны.

Так как ромб является параллелограммом, то он обладает всеми свойствами параллелограмма.

О собое свойство ромба. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

Дано: ABCD – ромб.

Доказать: АС  ВD; ВАС = САD; AВD = DBC.

Доказательство: Рассмотрим АВС.

АВ = ВС, АО = ОС.  ВО – высота и биссектриса АВC.

 ВС  AD; АВO = CВO.

Рассмотрим АВD. АВ = AD, BО = ОD.

 AО – высота и биссектриса BАD.

 ВAO = OAD.

Признаки ромба.

П ризнак 1. Если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны, то параллелограмм является ромбом.

Дано: ABCD – параллелограмм; АС  ВD.

Доказать: АВСD – ромб.

Доказательство:

АО = ОС (по свойству диагоналей параллелограмма);

ВО = ОD (по свойству диагоналей параллелограмма);

АОВ = ВОС = СОD = АОD = 90°;

 АОВ = ВОС = СОD = AOD

(как прямоугольные по двум катетам);

 АВ = ВС = СD = AD;  АВСD – ромб.

Признак 2. Если диагональ параллелограмма является биссектрисой его угла, то параллелограмм является ромбом.

Д ано: ABCD – параллелограмм; ВАО = ОАD.

Доказать: АВСD – ромб.

Доказательство:

АО – общая;

ВО = ОD (по свойству диагоналей параллелограмма);

ВАО = DAО (по условию);

 АОВ = AOD (как прямоугольные по катету

и прилежащему острому углу);

 АВ = AD  АВСD – ромб.

Вывод формулы площади ромба. Если диагональ параллелограмма является биссектрисой его угла, то параллелограмм является ромбом.

Дано: ABCD – параллелограмм; ВАО = ОАD. Доказать: АВСD – ромб.

Доказательство:

АО – общая;

ВО = ОD (по свойству диагоналей параллелограмма);

ВАО = DAО (по условию);

 АОВ = AOD (как прямоугольные по катету и прилежащему острому углу);

 АВ = AD  АВСD – ромб.