1. Признаки параллелограмма (с доказательством). Построение параллелограмма по двум сторонам и диагонали.

Признак 1. Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник - параллелограмм.

Д ано: ABCD – четырехугольник; АD II BC, АD = BC.

Доказать: АВСD – параллелограмм.

Доказательство: Проведем диагональ АС.

АС – общая;

ВС = АD (по условию);

ВСА = САD (внутренние накрест лежащие

при АD II BC и секущей АС);

 АВС = АDС (по 1 признаку).

ВAC = ACD (внутренние накрест лежащие)  АВ II СD.

АВСD – параллелограмм.

Признак 2. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник - параллелограмм.

Д ано: ABCD – четырехугольник; АВ = СD, АD = BC.

Доказать: АВСD – параллелограмм.

Доказательство: Проведем диагональ АС.

АС – общая;

ВС = АD (по условию);  АВС = АDС (по 3 признаку).

АВ = СD (по условию);

ВСА = САD (внутренние накрест лежащие)  АD II BC;

ВAC = ACD (внутренние накрест лежащие)  АВ II СD.

АВСD – параллелограмм.

Признак 3. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник - параллелограмм.

Д ано: ABCD – четырехугольник; АС∩ВD = {О}; BO = OD;

AO = OC.

Доказать: АВСD – параллелограмм.

Доказательство:

ВO = OD (по условию);

АO = OС (по условию);  АОВ = DОС (по 1 признаку).

AOВ = СOD (вертикальные);

ОВА = СDО (внутренние накрест лежащие)  АВ II СD;

ВO = OD (по условию);

АO = OС (по условию);  СОВ = DОА (по 1 признаку).

СOВ = АOD (вертикальные);

ВCО = ОAD (внутренние накрест лежащие)  АD II BC. АВСD – параллелограмм.

2. Определение вневписанной окружности. Теорема о центре вневписанной окружности.

Рассмотрим треугольник АВС и продолжим две его стороны АВ и АС. Проведем биссектрису угла А. Тогда всякая ее точка равноудалена от лучей АС и АВ. Проведем также биссектрису угла, смежного с углом В треугольника АВС. Точка пересечения этой биссектрисы и биссектрисы угла А равноудалена от стороны ВС и продолжения сторон АВ и АС, а значит, лежит на биссектрисе угла, смежного с углом С треугольника АВС.

Определение 1. Окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продолжения двух его других сторон, называется вневписанной окружностью.

Теорема о существовании вневписанной окружности: биссектрисы двух внешних углов треугольника и биссектриса внутреннего угла, не смежного с этими двумя внешними, пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, касающейся одной стороны треугольника и продолжений двух других сторон.

Д оказательство:

1. В любом треугольнике ABC две биссектрисы внешних углов (внешние биссектрисы) всегда пересекаются. В самом деле, сумма трех внешних углов равна 360, поэтому сумма двух из них меньше 360 и, значит, сумма половин двух внешних углов меньше 180. Тогда две внешние биссектрисы пересекаются (в той полуплоскости от стороны треугольника, которая этот треугольник не содержит), так как если бы они оказались параллельными, то сумма внутренних односторонних углов была бы равна 180.