Билеты по геометрии. 8 класс.

№ 1.

1. Определение и свойства равнобедренного треугольника. Доказательство теоремы о свойстве медианы равнобедренно го треугольника, проведенной к его основанию.

2. Теорема Менелая.

3. ЗАДАЧА.

№ 2.

1. Определение равных треугольников. Сформулировать признаки равенства треугольников и доказать один из них.

2. Деление отрезка на n равных частей. Доказательство теоремы Фалеса.

3. ЗАДАЧА.

№ 3.

1. Пропорциональные отрезки в круге (доказать теоремы о пересекающихся хордах, пересекающихся секущих, секущей и касательной, проведенных из одной точки к окружности.

2. Вывод формулы для вычисления суммы внутренних углов выпуклого многоугольника.

3. ЗАДАЧА.

№ 4.

1. Определение параллельных прямых. Свойства параллельных прямых. Доказательство признаков параллельности прямых.

2. Взаимное расположение окружностей. Общая хорда пересекающихся окружностей. Общие касательные двух окружностей. Построение внешней общей касательной и внутренней общей касательной двух окружностей.

3. ЗАДАЧА.

№ 5.

1. Определение вписанного угла. Доказательство теоремы о градусной мере вписанного угла.

2. Вывод формул площади треугольника:

3. Задача.

№ 6.

1. Определение внешнего угла треугольника. Доказательство теоремы о свойстве внешнего угла треугольника.

2. Нахождение значений синуса, косинуса, тангенса, котангенса углов в 30, 45, 60.

3. ЗАДАЧА.

№ 7.

1. Геометрическое место точек. Теоремы о геометрическом месте точек, равноудаленных от концов отрезка; равноудаленных от сторон угла.

2. Определение круга. Формула для вычисления площади круга (без вывода). Вывод формулы площади кругового сектора и кругового сегмента.

3. ЗАДАЧА.

№ 8.

1. Определение треугольника. Доказательство теоремы о сумме внутренних углов треугольника. Замечательные точки треугольника: центр тяжести, ортоцентр, центры вписанной, описанной и вневписанной окружностей.

2. Определение тригонометрических функций острого угла прямоугольного треугольника, основные тригонометрические тождества с выводом.

3. ЗАДАЧА.

№ 9.

1. Определение прямоугольного треугольника. Сформулировать и доказать признаки равенства прямоугольных треугольников. Доказательство теоремы о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике.

2. Определение окружности. Формула для вычисления длины окружности (без вывода). Вывод формулы длины дуги окружности. Теоремы о дугах и хордах.

3. ЗАДАЧА.

№ 10.

1. Определение параллелограмма и его свойства (с доказательством).

2. Построение биссектрисы угла. Доказательство свойства биссектрисы треугольника. Теорема об отношении отрезков биссектрисы треугольника, на которые она делится точкой пересечения биссектрис.

3. ЗАДАЧА.

№ 11.

1. Признаки параллелограмма (с доказательством). Построение параллелограмма по двум сторонам и диагонали.

2. Определение вневписанной окружности. Теорема о центре вневписанной окружности.

3. ЗАДАЧА.

№ 12.

1. Определение прямоугольника. Доказательство свойств и признаков прямоугольника.

2. Теорема Птолемея.

3. ЗАДАЧА.

№ 13.

1. Определение ромба. Доказательство свойств и признаков ромба. Вывод формулы площади ромба

2. Выражение радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, через его стороны (вывод формулы).

3. ЗАДАЧА.

№ 14.

1. Построение отрезков

2. Определение вписанного четырехугольника. Доказательство теоремы о свойстве углов вписанного четырехугольника.

3. ЗАДАЧА.

№ 15.

1. Определение средней линии треугольника и трапеции. Доказательство теорем о средней линии треугольника и трапеции.

2. Построение окружности, вписанной в треугольник и описанной около него.

3. ЗАДАЧА.

№ 16.

1. Определение подобных треугольников. Сформулировать лемму об отношении площадей подобных треугольников. Доказательство первого признака подобия треугольников.

2. Критерий пересекаемости трех чевиан треугольника в одной точке (прямая и обратная теоремы Чевы).

3. ЗАДАЧА.

№ 17.

1. Вывод формулы Герона.

2. Свойство чевианы о разбиении площади треугольника на части. Теоремы о «ласточкином хвосте».

3. ЗАДАЧА.

№ 18.

1. Вывод формул площади параллелограмма:

2. Доказательство теоремы об отношении отрезков медиан, на которые они делятся центром тяжести.

3. ЗАДАЧА.

№ 19.

1. Теорема Пифагора и обратная ей. Пифагоровы тройки чисел, египетский треугольник.

2. Доказательство теоремы о градусной мере угла между хордой и касательной, проведенной через ее конец. Построение касательной к окружности, проходящей через данную точку, не лежащую на окружности.

3. ЗАДАЧА.

№ 20.

1. Определение трапеции. Вывод формулы площади трапеции. Построение трапеции по ее основаниям и боковым сторонам.

2. Доказательство теорем об углах, образованных пересекающимися хордами; об углах, образованных секущими, проведенными к окружности из одной точки.

3. ЗАДАЧА.

№ 21.

1. Теорема синусов.

2. Построение прямой, параллельной данной; прямой, перпендикулярной данной.

3. ЗАДАЧА.

№ 22.

1. Теорема косинусов.

2. Построение вневписанной окружности. Соотношения между радиусами вписанной, описанной и вневписанной окружностей.

3. ЗАДАЧА.

№ 23.

1. Теорема об отношении площадей треугольников, имеющих по одному равному углу. Вывод формул площадей треугольников через радиусы вписанной и описанной окружностей.

2. Описанный четырехугольник. Свойство сторон описанного четырехугольника. Формула площади вписанного четырехугольника Частный случай формулы (диагонали взаимно перпендикулярны).