4.6. Задачи из теории массового обслуживания.

Сведения из теории вероятностей

1. Пусть – случайная величина и – некоторое её численное значение. Вероятность того, что примет значение, меньшее, чем , называютфункцией распределения вероятностей случайной величины и символически пишут:

. (4.6.1)

В дальнейшем будем предполагать, что F(x) дифференцируемая функция.

Функция , связанная с равенством , называется плотностью распределения вероятностей случайной величины . Очевидно

. (4.6.2)

По определению, вероятность может принимать лишь значения . Отсюда следует, что функция распределения является неотрицательной, ограниченной и, согласно (4.6.1) неубывающей функцией, а плотность – неотрицательна.

2. Плотность распределения суммы двух независимых случайных величин , непрерывно распределенных с плотностями соответственно равна свертке плотностей

, (4.6.3)

и равна дискретной свертке

(4.6.4)

когда распределения слагаемых дискретны.

В случае если плотности имеют в отдельных точках разрывы 1-го рода, в формуле (4.6.3), кроме интегрального члена, появляются ещё дискретные слагаемые, соответствующие разрывам плотности.

3. На практике часто приходится иметь дело со случайными величинами, способными принимать лишь неотрицательные значения. Тогда при . Следовательно, функция распределения и плотность распределения в этом случае представляют собой правые односторонние функции, а их преобразования Фурье (характеристические функции) являются краевыми значениями функций, аналитических в верхней полуплоскости. Начало координат здесь, как правило, является точкой разрыва плотности и (при условии, что нет других разрывов) формула (4.6.3) принимает вид

. (4.6.5)

Среднее время пребывания в очереди.

Пусть в моменты времени в систему поступают требования на обслуживание. Введём следующие обозначения: − промежуток времени между поступлениями двух соседних требований, − длительность обслуживания r- го клиента, - длительность ожидания обслуживания.

Из простых соображений вытекает соотношение

(4.6.6)

где . (4.6.7)

Пусть – плотности распределения соответственно величин . Очевидно, при . Считаем, что при имеют определённые пределы . Из равенств (4.6.6) и (4.6.5) переходом к пределу при получаем для определения интегральное уравнение Винера – Хопфа:

(4.6.8)

Решаем его следующим образом. Заменяем на , доопределяем уравнение на отрицательной полуоси внесением в правую часть произвольной левой односторонней функции и берём от обеих частей равенства преобразование Фурье. Получаем краевую задачу Римана относительно

(4.6.9)

в классе функций, исчезающих на бесконечности.

Переходя к исследованию полученной краевой задачи, заметим, что, так как величина , согласно (4.6.7), представляет собой алгебраическую сумму двух случайных величин , , то её плотность распределения будет сверткой плотностей слагаемых , , соответственно:

В качестве можно взять плотность наиболее распространённого показательного закона, описывающего распределение величины промежутка времени между соседними событиями Пуассоновского потока Тогда

и краевое уравнение примет вид

(4.6.10)

Так как коэффициент и свободный член краевого условия аналитически продолжимы в комплексную плоскость, то решать будем способом аналитического продолжения без обращения к общим формулам. Не указывая точного значения функции , используем лишь два её очевидных свойства:

Отсюда следует, что (других нулей на оси, как легко показать, нет), и так как , то коэффициент задачи Римана (4.6.10) имеет индекс единицу и полюс на контуре интегрирования в начале координат. Следовательно, имеем дело с исключительным случаем. По теореме Лиувилля имеем

откуда следует, что

Определяя произвольную постояннуюСиз условия ограниченности решения в начале координат, получим , получаем

. (4.6.11)

Постоянную здесь можно определить из равенства .

Формула (4.6.11) позволяет вычислить искомое среднее время ожидания, а также другие представляющие интерес характеристик распределения (математическое ожидание, дисперсию и т. д.).

Вероятность наличия в обслуживающей системе n требований.

Обозначим через вероятности того, что в обслуживающей системе в момент времени t находится n требований (n=0,1,2,….). Для определения этих вероятностей составим систему линейных дифференциальных уравнений Колмогорова

(4.6.12)

где  постоянные коэффициенты, равные интенсивностям потоков, переводящих систему из состояния в состояние (рисунок 4.1).

Рисунок 4.1.

Эта система достаточно известна – она, служит математической моделью для обширного класса задач, известных под названием процессов размножения и гибели. Поэтому, не останавливаясь на ее выводе, сразу перейдем к решению системы (4.6.12).

Примем, что в начальный момент в обслуживающей системе находится l требований, то есть

(4.6.12′)

последние равенства при решении системы (4.6.12) будут служить начальными условиями.

Представляя правые стороны уравнений (4.6.12) в виде дискретной свертки (4.6.4), запишем систему в виде

(4.6.13)

где при и при .

Для решения системы используем приемы решения дискретных уравнений свертки. Доопределяем равенства (4.6.13) на отрицательные значения индекса ппутем прибавления к правой части произвольной после­довательности (п = — 1, —2, ...), затем умножаем все уравнения на со­ответствующие степени zи суммируем по всем п = 0, ±1, ... (преобразование Лорана). После некоторых несложных преобразований получим равенство

(4.6.14)

где – производная функция для последовательности . В силу вероятностных соображений ограничена, поэтому аналитична в единичном круге. Произвольная последовательность (n=-1,-2,…) берется такой, чтобы была аналитичной вне единичного круга.

Соотношение (4.6.14) представляет собой на единичной окружности краевую задачу типа задачи Римана. Умножая (4.6.14) на z, и применяя теорему об аналитическом продолжении и теорему Лиувилля, получим

.

Положив z=0, имеем

.

Для отыскания остается решить линейное дифференциальное уравнение

(4.6.15)

при начальном условии (4.6.12′), т.е. при . Искомые вероятности находятся как коэффициенты ряда Тейлора по формулам .

Рассмотренные задачи, характеризуемые наличием одного канала обслужива­ния и равными возможностями клиентов, принадлежат к числу простейших. Более сложный класс задач − хотя и с одним обслуживающим каналом, но с предпочтением, отдаваемым отдельным видам требований («приоритет­ные задачи»),– приводит к краевой задаче Римана для функций также одного пере­менного, но зависящих от ряда параметров. Многоканальное обслуживание при наличии различных требований приводит к краевым задачам для функ­ций многих переменных.